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第二章 2.3 2.3.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则( C )
A．m∥β B．m⊂β
C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直
[解析] 如图，
∵α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，∴m⊥β.
2．设有直线m、n和平面α、β，则下列命题中正确的是( B )
A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
B．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
D．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β
[解析] ⇒α⊥β，
∴B正确．
3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则
( C )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
[解析] α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．
4．如右图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( D )
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A．一条线段 B．一条直线
C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点
[解析] ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
5．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂a，要使n⊥β，则应增加的条件是( B )
A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α
[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.
6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB︰A′B′等于( A )
A．2︰1 B．3︰1 C．3︰2 D．4︰3
[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，设AB＝2a，
则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB︰A′B′＝2︰1.
二、填空题
7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：
①α∥β，l⊄β⇒l⊥m； ②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是__①③__.
[解析] ⇒l⊥m，故①对；
⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；
⇒α⊥β，∴③对；
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⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．
8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的__垂__心.
[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．
三、解答题
9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.
[解析] ⇒
⇒平面ABD⊥平面ACD.
10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD.
又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.
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又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.
B级 素养提升
一、选择题
1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；
④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．
2．在空间中，下列命题正确的是( D )
A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面
B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b
[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．
3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( D )
A．PE⊥AC B．PE⊥BC
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C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD
[解析] 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．
二、填空题
4．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝__45°__.
[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD是等边三角形，
∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，
∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.
在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，
∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.
5．(2016·四川文)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
[解析] (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．
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理由如下：
因为AD∥BC，BC＝AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，
所以四边形AMCB是平行四边形，
从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交．
所以PA⊥平面ABCD.
从而PA⊥BD.
连接BM，
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥MD，且BC＝MD.
所以四边形BCDM是平行四边形．
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD.
所以平面PAB⊥平面PBD.
C级 能力拔高
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
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[解析] (1)证明：设G为AD的中点，连接BG、PG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
在△PBC中，∵F是PC的中点，∴EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.
2．(2016·泰安二中高一检测)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点.
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．
[解析] (1)如图所示，取CD的中点E，连接PE、EM、EA.
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝.
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∵PE⊥AM.
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∴四边形ABCD是矩形，
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，
由勾股定理可求得EM＝，AM＝，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.
(2)由(1)可知，EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
在Rt△PEM中，tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°.
∴二面角P－AM－D的大小为45°.
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