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第二十六章 反比例函数
26．1 反比例函数
26．1.1 反比例函数
01 基础题
知识点1 在实际问题中建立反比例函数模型
1．下列选项中，能写成反比例函数的是(D)
A．人的体重与身高
B．正三角形的边长与面积
C．速度一定，路程与时间的关系
D．销售总价不变，销售单价与销售数量的关系
2．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/小时)的函数关系是(B)
A．t＝20v B．t＝ C．t＝ D．t＝
3．已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例[即y＝(k≠0)]，若200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m，则y与x之间的函数解析式是y＝.
知识点2 反比例函数的定义
4．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是(C)
A．y＝3x B．y＝3x＋1
C．y＝ D．y＝3x2
5．反比例函数y＝－中，k的值是(C)
A．2 B．－2
C．－ D．－
6．函数y＝－的自变量的取值范围是x≠1．
7．已知反比例函数y＝，则当自变量x＝－2时，函数值是y＝－3．
知识点3 确定反比例函数解析式
8．已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝7.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝时，求y的值；
(3)当y＝3时，求x的值．
解：(1)∵y与x成反比例，
∴可设y＝(k≠0)．
∴7＝，即k＝21.
∴y与x的函数解析式为y＝.
(2)当x＝时，y＝＝63.
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(3)当y＝3时，3＝，解得x＝7.
02 中档题
9．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是(C)
A．y＝ B．y＝＋7
C．xy＝5 D．y＝
10．在物理学中，压力F、压强p与受力面积S的关系是p＝，则下列描述中正确的是(D)
A．当压力F一定时，压强p是受力面积S的正比例函数
B．当压强p一定时，压力F是受力面积S的反比例函数
C．当受力面积S一定时，压强p是压力F的反比例函数
D．当压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例函数
11．(保定章末测试)把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数解析式为S＝．
12．若y＝(m－1)xm2－2是y关于x的反比例函数关系式，则m＝－1，此函数的解析式是y＝－．
13．(1)当n取多少时，函数y＝－3xn－2是正比例函数？
(2)当n取多少时，函数y＝－3xn－2是反比例函数？
(3)当n取多少时，函数y＝－3xn－2是二次函数？
解：(1)n＝3.
(2)n＝1.
(3)n＝4.
14．已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一部分值：
x
－3
－2
－1
－
1
2
3
y
1
2
4
－4
－2
－1
－
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)根据函数解析式完成上表．
解：(1)设y＝.由表知，当x＝－1时，y＝2.
∴2＝.解得k＝－2.
∴y＝－.
(2)如表．
15．设面积为20 cm2的平行四边形的一边长为a cm，这条边上的高为h cm.
(1)求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；
(2)h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数；
(3)当a＝25时，求这条边上的高h.
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解：(1)h＝(a>0)．
(2)是反比例函数，它的比例系数是20.
(3)当a＝25时，这条边上的高h＝＝(cm)．
03 综合题
16．已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝4时，求y的值．
解：(1)设y1＝k1x，y2＝，
则y＝y1＋y2＝k1x＋.
∵当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，
∴解得
∴y＝2x＋.
(2)当x＝4时，y＝2×4＋＝8.
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26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
01 基础题
知识点1 反比例函数y＝(k＞0)的图象和性质
1．当x＜0时，下列表示函数y＝的图象的是(D)
2．(邯郸武安期末)反比例函数y＝的图象经过点(－1，－2)，则该反比例函数的图象位于(B)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．对于反比例函数y＝，下列说法中正确的是(C)
A．随自变量x的增大，函数值y也增大
B．它的图象与x轴能够相交
C．它的两支曲线与y轴都不相交
D．点(1，3)与(－1，3)都在函数的图象上
4．(遵义中考)已知反比例函数y＝(k>0)的图象经过点A(1，a)，B(3，b)，则a与b的关系正确的是(D)
A．a＝b B．a＝－b
C．ab
5．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则m的取值范围是m＜1.
6．(成都中考)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点都在反比例函数y＝的图象上，且x1”或“”“＝”或“y2时，x的取值范围．
解：(1)把点A(－1，6)代入反比例函数y2＝(m≠0)，得m＝－1×6＝－6，∴y2＝－.
将B(a，－2)代入y2＝－，得－2＝，解得a＝3，
∴B(3，－2)．
将A(－1，6)，B(3，－2)代入一次函数y1＝kx＋b，得
∴
∴y1＝－2x＋4.
(2)xy2的实数x的取值范围是－2＜x＜0或x＞2．
5．(绍兴中考)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是≤a≤＋1．
6．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C的坐标分别为A(2，0)，C(－1，2)，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B.
(1)求k的值；
(2)将▱OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，判断点C′是否在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，请通过计算说明理由．
解：(1)∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA.
∵A(2，0)，C(－1，2)，∴B(1，2)．
将B(1，2)代入反比例函数解析式，得2＝，∴k＝2.
(2)点C′在反比例函数y＝的图象上，理由如下：
∵▱OABC沿x轴翻折，点C落在点C′处，
∴C′点坐标是(－1，－2)．
∵反比例函数解析式为y＝，
当x＝－1时，y＝＝－2，
∴点C′在反比例函数y＝的图象上．
7.(苏州中考)如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A.反比例函数y＝(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB＝4，BC＝.
(1)若OA＝4，求k的值；
(2)连接OC，若BD＝BC，求OC的长．
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解：(1)作CE⊥AB，垂足为E.
∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2.
在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，∴CE＝.
∵OA＝4，∴点C的坐标为(，2)．
∵点C在y＝的图象上，∴k＝5.
(2)设A点的坐标为(m，0)，∵BD＝BC＝，∴AD＝.
∴D，C两点的坐标分别为(m，)，(m－，2)．
∵点C，D都在y＝的图象上，∴m＝2(m－)．∴m＝6.
∴点C的坐标为(，2)．
作CF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝，CF＝2.
在Rt△OFC中，OC2＝OF2＋CF2，
∴OC＝.
8．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝(x＞0)的图象经过点B.
(1)求k的值；
(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，NA′BC.设线段MC′，NA′分别与函数y＝(x＞0)的图象交于点E，F，求线段EF所在直线的解析式．
解：(1)∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴OA＝OC＝2.
∴点B坐标为(2，2)．
∴k＝xy＝2×2＝4.
(2)∵正方形MABC′，
NA′BC是由正方形OABC翻折所得，
∴ON＝OM＝2OA＝4.
∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4.
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∵点E，F在函数y＝的图象上，
∴E(4，1)，F(1，4)．
设直线EF解析式为y＝mx＋n，将E，F两点坐标代入，
得解得
∴直线EF的解析式为y＝－x＋5.
9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数y＝(x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
解：(1)设直线DE的解析式为y＝kx＋b，
∵点D，E的坐标分别为(0，3)，(6，0)，
∴解得
∴直线DE的解析式为y＝－x＋3.
由题意，令2＝－x＋3.∴x＝2.∴M(2，2)．
(2)∵y＝(x＞0)经过点M(2，2)，∴m＝4.
∴反比例函数的解析式为y＝.
当x＝4时，y＝－×4＋3＝1.
∴N(4，1)．
∵当x＝4时，y＝＝1，
∴点N在函数y＝的图象上．
(3)4≤m≤8.
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章末复习(一) 反比例函数
01 基础题
知识点1 反比例函数的概念
1．下列六个关系式：①x(y＋1)；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤y＝－；⑥y＝.其中y是x的反比例函数的是(D)
A．①②③④⑥ B．③⑤⑥
C．①②④ D．④⑥
知识点2 反比例函数的图象与性质
2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的点，若x1>0>x2，则(B)
A．y1>y2>0 B．y1>0>y2
C．0>y1>y2 D．y2>0>y1
3．(连云港中考)姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．
甲：函数图象经过第一象限；
乙：函数图象经过第三象限；
丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．
根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(B)
A．y＝3x B．y＝
C．y＝－ D．y＝x2
4．(河北中考)定义新运算：ab＝例如：45＝，4(－5)＝.则函数y＝2x(x≠0)的图象大致是(D)
知识点3 反比例函数与一次函数综合
5．(广安中考)若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(1，－3)，则一次函数y＝kx－k(k≠0)的图象经过第一、二、四象限．
6．(内江中考)已知点A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)观察图象，直接写出不等式kx＋b－>0的解集．
解：(1)∵点A(－4，2)，B(n，－4)在反比例函数图象上，
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∴2＝，n＝.
∴m＝－8，n＝2.
∴B(2，－4)．
∵一次函数过点A，B，
∴∴
∴反比例函数：y＝－；一次函数：y＝－x－2.
(2)设函数y＝－x－2与y轴交于点C，则C(－2，0)，∴S△AOB＝S△ACO＋S△OCB＝×2×2＋×2×4＝6.
(3)x0)个单位长度后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y＝的图象上，则m的值为．
12．(邢台县一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x的图象经过点A，点A的纵坐标为6，反比例函数y＝的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC＝AB，求：
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)直线AB(一次函数)的解析式．
解：(1)∵正比例函数y＝x的图象经过点A，点A的纵坐标为6，
∴6＝x，解得x＝4，
∴点A的坐标为(4，6)．
∵反比例函数y＝的图象经过点A，
∴m＝6×4＝24.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)作AD⊥BC于D，∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴BC＝2CD＝8.∴点B的坐标为(8，3)．
设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
由题意，得解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋9.
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03 综合题
13．(石家庄一模)小明家饮水机中原有水的温度为20 ℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系]，当加热到100 ℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系]，当水温降至20 ℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)当0≤x≤8时，求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数解析式；
(2)求图中t的值；
(3)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少？
解：(1)当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数解析为y＝kx＋b，依据题意，得
解得
故此函数解析式为y＝10x＋20.
(2)在水温下降过程中，设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数解析式为y＝，
依据题意，得100＝，即m＝800.
∴y与x的函数解析式为y＝.
当y＝20时，20＝，即t＝40.
(3)∵45－40＝5≤8，
∴当x＝5时，y＝10×5＋20＝70.
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内水的温度约为70 ℃.
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