2018年春人教版九年级《第27章相似》全章节练习含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第二十七章　相似 ‎27．1　图形的相似 ‎01　　基础题 知识点1　相似图形 ‎1．下列各组图形相似的是(B)‎ 知识点2　比例线段 ‎2．(保定章末测试)下列各组中的四条线段成比例的是(A)‎ A．2 m，1 m， m， m ‎ B．3 m，2 cm，6 cm，4 m C．1.5 m，2.5 m，4.5 m，5.5 m ‎ D．1 cm，7 cm，5 cm，3 cm ‎3．(唐山迁安中学月考)某市两旅游区之间的距离为105公里，在一张比例尺为1∶2 000 000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A)‎ A．一根火柴的长度 B．一支钢笔的长度 C．一支铅笔的长度 D．一根筷子的长度 ‎4．(邯郸育华中学月考)如果＝，那么＝．‎ ‎5．已知线段a，b，c，d成比例，且＝，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则d＝6cm.‎ 知识点3　相似多边形 ‎6．(邯郸育华中学月考)若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是(C)[来源:学科网]‎ A．75° B．60° C．87° D．120°‎ ‎7．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D)‎ A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 ‎8．(达县期中)如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm.求：‎ ‎(1)∠B的度数；‎ ‎(2)AD的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：(1)∵△ABC∽△DEC，‎ ‎∴∠A＝∠D＝45°.‎ 在△ACB中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－45°－60°＝75°.‎ ‎(2)∵△ABC∽△DEC，‎ ‎∴＝，‎ 即DC＝＝ cm.‎ ‎∴AD＝AC＋CD＝ cm.‎ ‎02　　中档题 ‎9．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)‎ A．150° B．105°‎ C．15° D．无法确定大小 ‎10．观察下列图形，其中相似图形有(D)‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎11．(唐山迁安中学月考)如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是(C)‎ A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2‎ ‎12．(保定章末测试)要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有(C)‎ A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 ‎13．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？若相似，相似比是多少？满足什么条件的两个矩形一定相似？‎ 解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是矩形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠A′＝∠B′＝∠C′＝∠D′＝90°，AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，A′B′＝D′C′＝4，A′D′＝B′C′＝5.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝＝＝＝.‎ ‎∴矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，相似比是2.‎ ‎∴两个矩形只要满足长与宽的比相等就相似．‎ ‎14．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．‎ 证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，‎ ‎∴∠DAC＝∠BAC＝45°.‎ 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，‎ ‎∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.‎ ‎∴AE＝EG＝FG＝AF.‎ 又∵∠EAF＝90°，‎ ‎∴四边形AFGE为正方形．‎ ‎∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.‎ ‎∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．‎ ‎03　　综合题 ‎15．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．‎ 解：(1)设AD＝x(x＞0)，则DM＝.‎ ‎∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，‎ ‎∴＝，‎ 即＝.解得x＝4(舍负)．‎ ‎∴AD的长为4.‎ ‎(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 ＝＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎27．2　相似三角形 ‎27．2.1　相似三角形的判定 第1课时　平行线分线段成比例 ‎01　　基础题 知识点1　相似三角形的有关概念 ‎1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)‎ A.＝＝ B.＝ C.＝＝ D.＝ ‎2．如果△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为．‎ 知识点2　平行线分线段成比例定理 ‎3．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝(B)‎ A. B. C. D．1‎ ‎4．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎　　‎ ‎5．(济宁中考)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．‎ ‎6．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：∵EG∥BC，∴＝.‎ 又∵GF∥DC，∴＝.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴FD＝4.‎ ‎∴AD＝AF＋FD＝10.‎ 知识点3　相似三角形判定的预备定理 ‎7．(南京中考)如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为．‎ ‎8．(厦门中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，则＝．‎ ‎　　　‎ ‎9．(唐山迁安中学月考)如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形及其相似比．‎ 解：根据平行四边形性质得出DC∥AB，AD∥BC，‎ 由DC∥AB，得△DFC∽△EFB.‎ 由AB＝3BE，AB＝CD，得＝.‎ 由AD∥BC，得△BFE∽△ADE，△DFC∽△EDA.‎ 由AB＝3BE，得＝.‎ ‎02　　中档题 ‎10．(唐山玉田县期末)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是(C)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 提示：△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，△ADE∽△EFC.‎ ‎11．(天津中考)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于(D)‎ A．3∶2 B．3∶1 ‎ C．1∶1 D．1∶2‎ ‎　　　‎ ‎12．已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：‎ ‎(1)△OAC与△OBD的相似比；‎ ‎(2)BD的长．‎ 解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，‎ ‎∴线段OA与线段OB是对应边．‎ ‎∴△OAC与△OBD的相似比为＝＝.‎ ‎(2)∵△OAC∽△OBD，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴BD＝＝＝1.‎ ‎13．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10 m，BC＝18 m，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?‎ 解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ABC∽△ADE.‎ ‎∴＝，‎ 即＝.[来源:学科网]‎ ‎∴AD＝10.‎ 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.‎ ‎03　　综合题 ‎14．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：∵在△ABC中，EG∥BC，‎ ‎∴△AEG∽△ABC.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝.∴EG＝6.‎ ‎∵在△BAD中，EF∥AD，‎ ‎∴△BEF∽△BAD.∴＝.‎ ‎∴＝.∴EF＝.‎ ‎∴FG＝EG－EF＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第2课时　相似三角形的判定定理1，2‎ ‎01　　基础题 知识点1　三边成比例的两个三角形相似 ‎1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)‎ A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 ‎2．(唐山玉田县期末)已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该为(A)‎ A. B. C. D. ‎3．(石家庄模拟)下列三个三角形中相似的是(B)‎ A．A与B B．A与C C．B与C D．A，B，C都相似 ‎4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．‎ ‎[来源:学科网]‎ 解：相似．‎ 理由：∵＝＝，＝＝，‎ ＝＝，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴△ABC∽△ADE.‎ 知识点2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ‎5．(保定莲池区期末)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是(D)‎ A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8‎ ‎6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎7．如图，已知：AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．‎ ‎8．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．‎ ‎∠B＝50°，AB＝2，BC＝3，∠B′＝50°，A′B′＝12，B′C′＝18.‎ 解：相似．理由：‎ ‎∵＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵∠B＝∠B′，‎ ‎∴△ABC∽△A′B′C′.‎ ‎02　　中档题 ‎9．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是(A)‎ ‎10．如图，在等边△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)‎ A．△AED∽△BED ‎ B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD ‎ D．△BAD∽△BCD ‎11．一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm、50 cm、60 cm.现在再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则下列截法：①将30 cm截出5 cm和25 cm；②将50 cm截出10 cm和25 cm；③将50 cm截出12 cm和36 cm；④将50 cm截出20 cm和30 cm.其中正确的有(B)‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．4个 ‎12．(唐山迁安中学月考)如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD＝12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝16或9．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．(石家庄四十二中章末测试)已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6.在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？‎ 解：△ABC∽△EDF相似．理由如下：‎ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，‎ 根据勾股，得AC＝＝＝8.‎ 在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，‎ 根据勾股，得ED＝＝＝5.‎ 在Rt△ABC和Rt△EDF中，＝＝2，＝＝2，＝＝2，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴△ABC∽△EDF.‎ ‎14．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.‎ ‎(1)求证：△ADF∽△ACG；‎ ‎(2)若＝，求的值．‎ 解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，‎ ‎∴∠ADF＝∠C.‎ 又∵＝，‎ ‎∴△ADF∽△ACG.‎ ‎(2)∵△ADF∽△ACG，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴＝1.‎ ‎03　　综合题 ‎15．(武汉中考改编)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝＝10 cm.‎ ‎①当△BPQ∽△BAC时，‎ 则＝，‎ ‎∴＝.解得t＝1；‎ ‎②当△BPQ∽△BCA时，则＝，‎ ‎∴＝.解得t＝.‎ 综上所述，当t＝1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3课时　相似三角形的判定定理3‎ ‎01　　基础题 知识点1　两角分别相等的两个三角形相似 ‎1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)‎ A．全等 B．相似 ‎ C．既全等又相似 D．无法确定 ‎2．(唐山迁安中学月考)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，则图中相似三角形有(C)‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎3．(石家庄四十二中章末测试)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，下列条件不能判断这两个三角形相似的是(D)‎ A．∠A＝∠C′ B．∠A＝∠A′‎ C.＝ D.＝ ‎4．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的一对相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符号连接)‎ ‎　　　‎ ‎5．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.‎ ‎6．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD.‎ 证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.‎ ‎∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.‎ ‎∴∠AFB＝∠D＝90°.‎ ‎∴△ABF∽△EAD.‎ 知识点2　斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 ‎7．(保定期中)下列命题不一定成立的是(C)‎ A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似 ‎8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)‎ A．∠B＝∠B1 B.＝ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 C.＝ D.＝ ‎9．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.‎ ‎02　　中档题 ‎10．(河北中考)如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝(B)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎11．(毕节中考)如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)‎ A. B. C. D. ‎　　　‎ ‎12．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．‎ ‎13．(娄底中考)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如AB∥DE．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)‎ ‎14．如图，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？‎ 解：①若△ABC∽△ADB，‎ 则＝.‎ ‎∴＝.∴AD＝3.‎ ‎②若△ABC∽△DAB，‎ 则＝.∴＝.‎ ‎∴AD＝3.‎ 综上所述，当AD＝3或3时，图中两直角三角形相似．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎15．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.‎ ‎(1)求证：△APQ∽△CDQ；‎ ‎(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD.∴∠APQ＝∠CDQ.‎ 又∵∠AQP＝∠CQD.‎ ‎∴△APQ∽△CDQ.‎ ‎(2)当t＝5时，DP⊥AC.‎ 理由：∵t＝5，∴AP＝5.∴＝.‎ 又∵＝，∴＝.‎ 又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，∴△PAD∽△ADC.‎ ‎∴∠ADP＝∠DCA.‎ ‎∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠DCA＋∠CDP＝90°.‎ ‎∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.‎ ‎03　　综合题 ‎16．(河北模拟)如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.‎ ‎(1)求证：△ADF∽△DEC；‎ ‎(2)若AB＝8，AD＝6，AE＝6，求AF的长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD.‎ ‎∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.‎ ‎∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，‎ ‎∴∠AFD＝∠C.‎ ‎∴△ADF∽△DEC.‎ ‎(2)∵CD＝AB＝8，AE⊥BC，∴AE⊥AD.‎ 在Rt△ADE中，DE＝＝12.‎ ‎∵△ADF∽△DEC，∴＝.‎ ‎∴＝，解得AF＝4.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 小专题(三)　相似三角形的基本模型 下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识相似三角形的基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．‎ 模型1　X字型及其变形 ‎(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；‎ ‎(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.‎ ‎1．(滨州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则＝．‎ ‎2．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．‎ 解：∵∠ADE＝∠ACB，‎ ‎∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，‎ 即∠BDF＝∠ECF.‎ 又∵∠BFD＝∠EFC，‎ ‎∴△BDF∽△ECF.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴DF＝4.‎ 模型2　A字型及其变形 ‎(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；‎ ‎(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；‎ ‎(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎3．(潍坊中考)如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：答案不唯一，如：∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠EDA＝∠BFD，DF∥AC，＝，＝等，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)‎ ‎4．(福州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.‎ ‎(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；‎ ‎(2)求∠ABD的度数．‎ 解：(1)∵AD＝BC＝，‎ ‎∴AD2＝()2＝.‎ ‎∵AC＝1，‎ ‎∴CD＝1－＝.‎ ‎∴AD2＝AC·CD.‎ ‎(2)∵AD2＝AC·CD，‎ ‎∴BC2＝AC·CD，即＝.‎ 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.‎ ‎∴＝.‎ 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.‎ ‎∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.‎ 设∠A＝∠ABD＝x，‎ 则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.‎ ‎∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.‎ 解得x＝36°.‎ ‎∴∠ABD＝36°.‎ 模型3　双垂型 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.‎ ‎5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则AD的长为(C)‎ A．3 ‎ B．4 ‎ C．5 ‎ D．6‎ ‎6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)‎ A．3 B．15‎ C．9 D．3＋3 ‎7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3．‎ ‎　　　‎ 模型4　M字型及其变形 ‎(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；‎ ‎(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．‎ ‎8．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长．‎ 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，‎ ‎∴∠B＝∠D＝90°.‎ ‎∴∠ACB＋∠A＝90°.‎ ‎∵AC⊥CE，‎ ‎∴∠ACB＋∠ECD＝90°.‎ ‎∴∠A＝∠ECD.‎ ‎∴△ABC∽△CDE.‎ ‎∴＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，‎ ‎∴BC＝CD＝2.‎ ‎∴AB＝4.‎ ‎9．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.‎ ‎(1)求证：△ABE∽△DEF；‎ ‎(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠A＝∠D＝90°.‎ ‎∴∠ABE＋∠AEB＝90°.‎ ‎∵∠BEF＝90°，‎ ‎∴∠AEB＋∠DEF＝90°.‎ ‎∴∠ABE＝∠DEF.‎ ‎∴△ABE∽△DEF.[来源:学|科|网]‎ ‎(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，‎ ‎∴AE＝DE＝2.‎ 由(1)知，△ABE∽△DEF，[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴DF＝1.∴CF＝3.‎ ‎∵ED∥CG，‎ ‎∴△EDF∽△GCF.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴GC＝6.‎ ‎∴BG＝BC＋GC＝10.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎27.2.2　相似三角形的性质 ‎01　　基础题 知识点1　相似三角形对应线段的比等于相似比 ‎1．(重庆中考A卷)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(A)‎ A．3∶2 B．3∶5‎ C．9∶4 D．4∶9‎ ‎2．(兰州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(A)‎ A. B. C. D. ‎3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为_cm．‎ ‎4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．‎ 解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴A′E′＝12 cm.‎ 知识点2　相似三角形周长的比等于相似比 ‎5．(重庆中考)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(C)‎ A．1∶2 B．1∶3‎ C．1∶4 D．1∶16‎ ‎6．若两个相似三角形的周长的比为4∶5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为20，25．‎ ‎7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．‎ 解：∵相似三角形周长的比等于相似比，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴EF＝BC＝×5＝(cm)．‎ 同理＝，‎ ‎∴AC＝DF＝×4＝(cm)．‎ ‎∴EF的长是 cm，AC的长是 cm.‎ 知识点3　相似三角形面积的比等于相似比的平方 ‎8．(唐山玉田县期末)△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为(D)‎ A．1∶ B.∶1‎ C．9∶1 D．1∶9‎ ‎9．(铜仁中考)如图，在▱ABCD中，点 E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎△BAF的面积之比为(B)‎ A．3∶4 B．9∶16 ‎ C．9∶1 D．3∶1‎ ‎10．(巴中中考)如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为(B)‎ A．1∶2 B．1∶3‎ C．1∶4 D．1∶1‎ ‎　　　‎ ‎11．已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积比为4∶9．‎ ‎02　　中档题 ‎12．(连云港中考)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎13．(湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(D)‎ A．3 B．5 C．6 D．8‎ ‎　　‎ ‎14．(衡阳中考)若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为5∶4．‎ ‎15．(金华中考)如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．‎ ‎16．(凉山中考)在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝或．‎ ‎17．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.‎ ‎(1)求证：EF∥BC；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．‎ 解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，‎ ‎∴AF＝DF.‎ 又∵点E是AB的中点，‎ ‎∴EF是△ABD的中位线．‎ ‎∴EF∥BD，即EF∥BC.‎ ‎(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.‎ ‎∴＝()2.‎ 又∵点E是AB的中点，∴＝.‎ ‎∴＝.∴S△AEF＝S△ABD.‎ ‎∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.‎ ‎03　　综合题 ‎18．(怀化中考)如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.‎ ‎(1)求证：△AEH∽△ABC；‎ ‎(2)求这个正方形的边长与面积．‎ 解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，‎ ‎∴EH∥BC.‎ ‎∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.‎ ‎∴△AEH∽△ABC.‎ ‎(2)设AD与EH相交于点M.‎ ‎∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，‎ ‎∴四边形EFDM是矩形．‎ ‎∴EF＝DM.‎ 设正方形EFGH的边长为x.‎ ‎∵△AEH∽△ABC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝.∴x＝.‎ ‎∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 小专题(四)　相似三角形的判定与性质 ‎1．(河北中考)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)‎ A．AE>BE B.＝ C．∠D＝∠AEC D．△ADE∽△CBE ‎2．如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于(A)‎ A. B. C. D. ‎　　‎ ‎3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是(D)‎ A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD ‎ C．AC2＝AD·BC D.＝ ‎4．(邯郸育华中学月考)如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有(C)‎ A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 ‎　　‎ 提示：△ABC∽△FGE，△HIJ∽△HKL.‎ ‎5．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有3对．‎ 提示：△BCP∽△PCF，△DAP∽△DPG，△APG∽△BFP.‎ ‎6．(河池中考)如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于N，则 ＋＝1．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　‎ ‎7．(保定高阳章末测试)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°.‎ ‎(1)求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．‎ 解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝60°.‎ ‎∴∠BAD＋∠ADB＝120°.‎ ‎∵∠ADE＝60°，‎ ‎∴∠ADB＋∠EDC＝120°.‎ ‎∴∠DAB＝∠EDC.‎ 又∵∠B＝∠C＝60°，‎ ‎∴△ABD∽△DCE.‎ ‎(2)∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC.‎ ‎∴CD＝BC－BD＝AB－3.‎ ‎∵△ABD∽△DCE，‎ ‎∴＝，‎ 即＝.解得AB＝9.‎ ‎8．(邯郸育华中学月考)如图所示，已知▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.‎ ‎(1)求△AEF与△CDF的周长之比；‎ ‎(2)如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.‎ 解：(1)∵AE∶EB＝1∶2，‎ ‎∴AE∶AB＝1∶3.‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.‎ ‎∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△AEF∽△CDF.‎ ‎∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝1∶3.‎ ‎(2)∵△AEF∽△CDF，‎ ‎∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9.‎ 又∵S△AEF＝6，‎ ‎∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)．‎ ‎9．如图，在△ABC中，AB＝AD，DC＝BD，DE⊥BC，DE交AC于点E，BE交AD于点F.求证：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)△BDF∽△CBA；‎ ‎(2)AF＝DF.‎ 证明：(1)∵BD＝DC，‎ DE⊥BC，‎ ‎∴EB＝EC.‎ ‎∴∠EBD＝∠C.‎ ‎∵AB＝AD，‎ ‎∴∠ADB＝∠ABC.‎ ‎∴△BDF∽△CBA.‎ ‎(2)由(1)知，△BDF∽△CBA，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AB＝AD，BD＝BC，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∴AF＝DF.‎ ‎10．(衢州中考)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F，已知CE＝12，BE＝9.‎ ‎(1)求证：△COD∽△CBE；‎ ‎(2)求半圆O的半径r的长．‎ 解：(1)证明：∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，‎ ‎∴CD⊥OD.∴∠CDO＝90°.‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴∠E＝90°.‎ ‎∵∠CDO＝∠E＝90°，∠C＝∠C，‎ ‎∴△CDO∽△CEB.‎ ‎(2)∵在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，‎ ‎∴CB＝15.‎ ‎∵△CDO∽△CEB.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴r＝.‎ ‎11．(淄博中考)如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B，C不重合)，▱AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.设BP＝x，▱AFPE的面积为y. ‎ ‎(1)求y与x的函数关系式；‎ ‎(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 请说明理由．‎ 解：(1)∵四边形AFPE是平行四边形，‎ ‎∴PF∥CA.‎ ‎∴△BFP∽△BAC.‎ ‎∴＝()2＝()2.‎ ‎∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝.‎ 同理S△PEC＝()2＝.‎ ‎∴y＝1－－.‎ ‎∴y＝－＋x.‎ ‎(2)y＝－＋x＝－(x－1)2＋.‎ 当x＝1时，y有最大值，最大值为.‎ ‎12．(菏泽中考)正方形ABCD的边长为6 cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.‎ ‎(1)如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；‎ ‎(2)如图2，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s.‎ ‎①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式；‎ ‎②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．‎ 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.‎ ‎∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.‎ ‎∵∠NDA＋∠ANH＝90°，‎ ‎∴∠NAH＝∠NDA.‎ ‎∴△ABF≌△DAN.‎ ‎∴AF＝DN.‎ ‎∴AF＝MN.‎ ‎(2)①∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD∥BF.‎ ‎∴∠ADE＝∠FBE.‎ ‎∵∠AED＝∠BEF，∴△EBF∽△EDA.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝DC＝CB＝6.‎ ‎∴BD＝6.‎ 由题意得，BE＝t，则DE＝6－t.‎ ‎∴＝，即y＝.‎ ‎②∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠MAN＝∠FBA＝90°.‎ ‎∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.‎ ‎∵∠NMA＋∠ANH＝90°，‎ ‎∴∠NAH＝∠NMA.‎ ‎∴△ABF∽△MAN.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵BN＝2AN，AB＝6，∴AN＝2.‎ ‎∴＝.解得t＝2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 周周练 (27.1～27.2)‎ ‎(时间：40分钟　满分：100分)‎ 一、选择题(每小题4分，共32分)‎ ‎1．(保定高阳月考)下面图形中，形状相同的一组是(D)‎ ‎2．(新疆生产建设兵团)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是(D)‎ A．DE＝BC B.＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2‎ ‎3．(河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：‎ 甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．‎ 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．‎ 对于两人的观点，下列说法正确的是(A)‎ A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 ‎4．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)‎ A．4 B．4 C．6 D．4 ‎5．如图，已知：DE∥AC，DF∥AB，则下列比例式中正确的是(B)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　　‎ ‎6．(巴彦淖尔中考)如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为(B)‎ A．24 B．12 C．6 D．3‎ ‎7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为(B)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　　　‎ ‎8．(台湾中考)如图，矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC.若P、Q两点分别在AD、AE上，AP∶PD＝4∶1，AQ∶QE＝4∶1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系正确的是(D)‎ A．q＜r，QE＝RC B．q＜r，QE＜RC C．q＝r，QE＝RC D．q＝r，QE＜RC 二、填空题(每小题4分，共24分)‎ ‎9．如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为30°．‎ ‎10．(邢台临城县一模)已知＝＝≠0，则的值为．‎ ‎11．(临沂中考)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝4．‎ ‎　　　‎ ‎12．在长8 cm，宽6 cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是27cm2.‎ ‎13．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是①④．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD，BE，CE，线段AD分别与BE和CE相交于点M，N，则MN＝3－．‎ ‎　　　‎ 三、解答题(共44分)‎ ‎15．(10分)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.‎ ‎(1)求证：△BDC∽△ABC；‎ ‎(2)如果BC＝，AC＝3，求CD的长．‎ 解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，‎ ‎∴△BDC∽△ABC.‎ ‎(2)∵△BDC∽△ABC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝.∴CD＝2.‎ ‎16．(10分)(白银、张掖中考)如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.‎ ‎(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎(2)求证：OA2＝OE·OF.‎ 证明：(1)∵EC∥AB，‎ ‎∴∠C＝∠ABF.‎ ‎∵∠EDA＝∠ABF，‎ ‎∴∠C＝∠EDA.‎ ‎∴DA∥CF.‎ ‎∵EC∥AB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎(2)∵DA∥CF，∴△OBF∽△ODA.∴＝.‎ ‎∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED.∴＝.‎ ‎∴＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即OA2＝OE·OF.‎ ‎17．(12分)(秦皇岛海港区月考)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.‎ ‎(1)求证：△ACD∽△CBD；‎ ‎(2)求∠ACB的大小；‎ ‎(3)若AD＝3，BD＝2，求BC的长．‎ 解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，‎ ‎∴∠ADC＝∠CDB＝90°.‎ 又∵＝，‎ ‎∴△ACD∽△CBD.‎ ‎(2)∵△ACD∽△CBD，‎ ‎∴∠A＝∠BCD.‎ 在△ACD中，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠ACD＝90°.‎ ‎∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.‎ ‎(3)∵＝，‎ ‎∴CD2＝AD·BD＝6，即CD＝.‎ ‎∴BC＝＝.‎ ‎18．(12分)(六盘水中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.‎ ‎(1)求证：△ADO∽△ACB；‎ ‎(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.‎ 解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.‎ ‎∴∠ADO＝90°.‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADO.‎ 又∵∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADO∽△ACB.‎ ‎(2)由(1)知：△ADO∽△ACB，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴AD·BC＝AC·OD.‎ 又∵OD＝1，‎ ‎∴AC＝AD·BC.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎27.2.3　相似三角形应用举例 ‎01　　基础题 知识点1　测量物高 ‎1．(邯郸育华中学月考)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为(C)‎ A. B．1 C. D. ‎2．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是12m.‎ ‎ ‎ ‎3．(保定莲池区期末)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为9m.‎ ‎4．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．‎ ‎　　‎ ‎5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是多少米？‎ 解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，‎ ‎∴△ABP∽△CDP.‎ ‎∴＝，即＝.解得CD＝8.‎ 答：该古城墙CD的高度是8米．‎ 知识点2　测量距离 ‎6．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m ‎7．(秦皇岛海港区月考)如图所示，AB是斜靠在墙壁上的一个梯子，梯子下端B点到墙脚C的距离为1.4 m，梯子上点D距离墙壁1.2 m，梯子每级之间的距离(如BD)为0.5 m，则这个梯子的长度是(A)‎ A．3.5 m B．3.85 m C．4 m D．4.2 m ‎　　‎ ‎8．(邯郸育华中学月考)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝38 m，则AB的长为152_m．‎ ‎9．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5_mm.‎ ‎　　　‎ ‎10．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．‎ ‎02　　中档题 ‎11．(柳州中考)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)‎ A．10米 B．12米 ‎ C．15米 D．22.5米 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12．如图，一油桶高0.8 m，桶内有油，一根木棒长1 m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8 m，则桶内油的高度为0.64_m．‎ ‎　　　‎ ‎13．(秦皇岛海港区月考)如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的端点A时，杠杆绕C点转动，另一端点B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压多少厘米呢？‎ 解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN.‎ 易知：△ACM∽△BCN.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，‎ ‎∴＝，即AM＝5BN.‎ ‎∴当BN≥10 cm时，AM≥50 cm.‎ 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50 cm.‎ ‎14．(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．‎ 解：连接MN.‎ ‎∵＝＝，＝＝，∴＝.‎ 又∵∠BAC＝∠NAM，‎ ‎∴△BAC∽△NAM.‎ ‎∴＝，‎ 即＝.∴MN＝1 500.‎ 答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．‎ ‎03　　综合题 ‎15．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)‎ 解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于Q，P.‎ 由题意，得四边形ABCM，EBCN是平行四边形，‎ ‎∴EN＝AM＝BC＝20 cm.‎ ‎∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．‎ 由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，‎ ‎∴CQ＝32 cm.‎ ‎∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴NF＝24 cm.‎ ‎∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．‎ 答：横梁EF应为44 cm.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎27．3　位似 第1课时　位似图形的概念及画法 ‎01　　基础题 知识点1　位似图形 ‎1．下列关于位似图形的表述：‎ ‎①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；‎ ‎②位似图形一定有位似中心；‎ ‎③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；‎ ‎④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．‎ 其中正确命题的序号是(A)‎ A．②③ B．①②‎ C．③④ D．②③④‎ ‎2．(呼伦贝尔中考)视力表的一部分如图，其中开口向上的两个“E”之间的变换是(D)‎ A．平移 ‎ B．旋转 ‎ C．对称 ‎ D．位似 ‎3．两个位似图形中，对应点到位似中心的距离之比为2∶3，则这两个图形的相似比为(A)‎ A．2∶3 B．4∶9‎ C.∶ D．1∶2‎ ‎4．(邯郸育华中学月考)如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于(A)‎ A．6 B．5 C．9 D. ‎5．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)‎ A．点P B．点O C．点M D．点N ‎　　‎ ‎6．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是(D)‎ ‎7．(成都中考)如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)‎ A．4∶9 B．2∶5‎ C．2∶3 D.∶ ‎8．(石家庄一模)如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是(C)‎ ‎①△ABC与△DEF是位似图形；‎ ‎②△ABC与△DEF是相似图形；‎ ‎③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；‎ ‎④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 知识点2　位似图形的画法 ‎9．如图，以O为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的一半．‎ 解：图略．‎ ‎02　　中档题 ‎10．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是(D)‎ A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．∠ADE＝∠B D．点B与点E，点C与点D是对应点 ‎11．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)‎ A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B．AD与AE的比是2∶3‎ C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3‎ D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9‎ ‎12．(济宁中考)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为18_cm．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　　‎ ‎13．(钦州中考)如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝16．‎ ‎14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝4cm，并在图中画出位似中心O.‎ 解：如图所示．‎ ‎15．如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形，求证：OD·OC＝OF·OA.‎ 证明：∵△DEO与△ABO位似，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵△OEF与△OBC位似，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴OD·OC＝OF·OA.‎ ‎03　　综合题 ‎16．(唐山路南中学期末)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.‎ ‎(1)将△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B1C1；‎ ‎(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：如图．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第2课时　平面直角坐标系中的位似 ‎01　　基础题 知识点1　位似图形的坐标变化规律 ‎1．(唐山玉田县期末)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为(B)‎ A．(3，3) B．(4，1)‎ C．(3，1) D．(4，3)‎ ‎2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(C)‎ A．(2，4) B．(－1，－2)‎ C．(－2，－4) D．(－2，－1)‎ ‎　　　‎ ‎3．(卢龙模拟)如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是(A)‎ A．(－4，－3) B．(－3，－3)‎ C．(－4，－4) D．(－3，－4)‎ ‎4．(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)‎ A．(－1，2) B．(－9，18)‎ C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)‎ ‎　　　‎ ‎5．(长沙中考)如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是(1，2)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 知识点2　坐标系内图形的位似作图 ‎6．如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O.‎ 解：如图所示．‎ ‎7．(眉山中考)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．‎ ‎(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；‎ ‎(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．‎ 解：(1)如图．‎ ‎(2)如图，A2(－2，－2)．‎ ‎02　　中档题 ‎8．(保定高阳章末测试)如图，“小鱼”与“大鱼”是位似图形，已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为(C)‎ A．(－a，－2b) B．(－2a，－b)‎ C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a)‎ ‎9．(保定莲池区月考)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是(D)‎ A．(－2，3) B．(2，－3)‎ C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是6.‎ ‎　　　‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．‎ ‎(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：‎ ‎①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为(5，6)；‎ ‎②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶2；‎ ‎(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)‎ 解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵△ABC的面积为m，‎ ‎∴△A′B′C′的面积为4m.‎ ‎12．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，求点B的横坐标．‎ 解：过B′作B′F⊥x轴于点F，过B作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠B′FC＝90°.‎ 又∵∠BCE＝∠B′CF，‎ ‎∴△BEC∽△B′FC.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴＝＝.‎ ‎∵点B′的横坐标是a，点C的坐标是(－1，0)，‎ ‎∴FO＝a，CO＝1.∴FC＝a＋1.‎ ‎∴EC＝(a＋1)．‎ ‎∴点B的横坐标是：－(a＋1)－1＝－(a＋3)．‎ ‎03　　综合题 ‎13．如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(7，1)，B(8，2)，C(9，0)．‎ ‎(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧)；‎ ‎(2)求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式．‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)作BD⊥x轴，B′E⊥x轴，垂直分别是D，E点，‎ ‎∴B′E∥BD.‎ ‎∴△B′EP∽△BDP.∴＝＝.‎ ‎∵B(8，2)，P(12，0)，∴OD＝8，BD＝2，OP＝12.‎ ‎∴PD＝OP－OD＝12－8＝4.‎ ‎∵△A′B′C′与△ABC的相似比为3，‎ ‎∴＝3.∴＝＝3.‎ ‎∴B′E＝6，PE＝12.‎ ‎∵PO＝12，∴E与O点重合，线段B′E在y轴上．‎ ‎∴B′点坐标为(0，6)．‎ 同理PC′∶PC＝3∶1，‎ 又∵PC＝OP－OC＝12－9＝3，∴PC′＝9.‎ ‎∴OC′＝12－9＝3.∴C′点坐标为(3，0)．‎ 设线段B′C′所在直线的解析式为y＝kx＋b，则 解得 ‎∴线段B′C′所在直线的解析式为y＝－2x＋6.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 章末复习(二)　相似 ‎01　　基础题 知识点1　图形的相似 ‎1．(邯郸育华中学月考)如图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(B)‎ ‎2．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21，则∠F＝60°，∠D＝110°，AD＝28．‎ 知识点2　平行线分线段成比例 ‎3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)‎ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ ‎4．(南皮模拟)如图，已知DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，则的值为(A)‎ A. B. C. D. ‎　　‎ 知识点3　相似三角形的性质与判定 ‎5．(自贡中考)如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1．‎ ‎6．(邯郸育华中学月考)如图，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F.‎ ‎(1)求证：△AFE∽△ABC；‎ ‎(2)若∠A＝60°时，求△AFE与△ABC面积之比．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：(1)证明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，‎ ‎∴△AFB∽△AEC.‎ ‎∴＝.∴＝.‎ 又∵∠A＝∠A，∴△AFE∽△ABC.‎ ‎(2)∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝30°.‎ ‎∴AE＝AC.∵△AFE∽△ABC.‎ ‎∴＝()2＝()2＝.‎ 知识点4　相似三角形的应用 ‎7．九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度为13.5m.‎ 知识点5　位似 ‎8．(滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为(4，6)或(－4，－6)．‎ ‎02　　中档题 ‎9．(长沙中考)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点M重合(M不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，△CMG的周长为n，则的值为(B)‎ A. B. C. D．随H点位置的变化而变化 ‎10．(枣庄中考)如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝6＋3．(结果保留根号)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．(河北中考)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．‎ ‎(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；‎ ‎(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)‎ 解：(1)如图所示．‎ ‎(2)AA′＝CC′＝2.‎ 在Rt△OA′C′中，‎ OA′＝OC′＝2，得A′C′＝2.‎ 同理可得AC＝4，‎ ‎∴四边形AA′C′C的周长为4＋6.‎ ‎12．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．‎ ‎(1)求证：△BEF∽△CDF；‎ ‎(2)求CF的长．‎ 解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG.‎ ‎∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，‎ ‎∴∠BFE＝∠CFD.‎ 又∵∠B＝∠C＝90°，‎ ‎∴△BEF∽△CDF.‎ ‎(2)∵△BEF∽△CDF，∴＝，‎ 即＝.∴CF＝169 cm.‎ ‎13．(杭州中考)如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.‎ ‎(1)求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．‎ 解：(1)证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，‎ ‎∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC，‎ 又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.‎ 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.‎ ‎(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.‎ 又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，‎ ‎∴△AFD∽△AGB.∴＝.‎ ‎∵AD＝3，AB＝5，‎ ‎∴＝.‎ ‎03　　综合题 ‎14．(眉山中考)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G.‎ ‎(1)求证：BG＝DE；‎ ‎(2)若点G为CD的中点，求的值．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°.‎ ‎∵BF⊥DE，‎ ‎∴∠BFD＝90°.‎ ‎∵∠BGC＝∠DGF，‎ ‎∴∠CBF＝∠GDF.‎ ‎∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE.‎ ‎(2)设正方形ABCD的边长为a，‎ ‎∵点G是CD的中点，‎ ‎∴CB＝a，CG＝GD＝a.∴BG＝a.‎ ‎∵∠CBG＝∠GDF，∠BGC＝∠DGF，‎ ‎∴△BCG∽△DFG.‎ ‎∴＝，即＝.∴GF＝a.‎ 又∵AB∥CD，∴＝＝.∴＝.‎ ‎∴GH＝GB＝a.∴＝＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费