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沙县2017-2018学年度第一学期半期质量检测九年级数学试卷
(时间：120分钟；满分：150分)
友情提示：
1.作图或画辅助线等需用签字笔描黑.
2.未注明精确度的计算问题，结果应为准确数.
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．方程的解是（▲）
A． B. C. D.
2．若=，则等于（▲）
A. B. C. D.
3．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（▲）
A．x2+1=0 B．x2﹣3x+1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0
4. 如图，矩形的对角线与相交于点O，∠AOB=,，则等于（▲）
A. 3 B.
C. 4 D.
5．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（▲）
A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2 x)＝289
6.正方形ABCD的一条对角线长为8，则这个正方形的面积是（▲）
A． B．32 C．64 D．128
7．如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（▲）
A． 1：2 B． 1：1
C．3：2 D．3：1
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8．下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是（▲ ）
A．① B．② C. ①② D．①③
9.如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为
奇数的概率是（▲ ）
A． B．
C． D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（▲）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置）
11．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m+n＝ ．
12.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB=3，BC=6，BD=2.5，则线段BE的长为▲▲▲.
13.假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
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000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．
14.．若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝▲▲▲,n＝▲▲▲
15.如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，，
则▲▲▲.
16．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，
△PBE周长的最小值是▲▲▲.
三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置）
17．（本题满分8分）
如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
18.（本题满分8分）
用适当的方法解方程：
19.（本题满分8分）
图中的网格称之为三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正三角形的顶点处），如图所示，请在图①和②中分别画出一个与△ABC相似，且不全等的格点三角形，并写出相应的相似比k（△ABC与△A′B′C′之比）
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20．（本题满分8分）
某市电解金属锰厂从今年元月起安装了回收净化设备(安装时间不计)，这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～x月的利润的月平均值W(万元)满足W＝10 x＋90.请问多少个月后的利润和为1620万元？
21．（本题满分8分）
已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3分）
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．（5分）
22．（本题满分10分）
在一只不透明的盒子里有背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片，小马从中随机地抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小虎从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；(6分)
（2）小马与小虎做游戏，规则是：若这两数的差为非正数，则小马赢；否则小虎赢．你认为该游戏公平吗？请说明理由．(4分)
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23．（本题满分10分）
如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)求证：四边形BECF是菱形；（6分）
(2)若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．（4分）
24．（本题满分12分）
已知边长为1正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
E是线段OA上的点，过点E作EH⊥AB，垂足为点H，连结CH交BE于点F，交OB于点G.
（1）如图1，当点E在线段OA中点位置时，求AH的长度;(3分)
（2）当点E在线段OA移动，若使CH⊥BE，
①求证：∠OCG=∠OBE;(3分)
②求HB的长;(6分)
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25．（本题满分14分）
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=50°，∠B=30°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（4分）
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（6分）
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．（4分）
（图2）
（图1）
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2017-2018学年度第一学期半期质量检测
九年级数学
(满分：150分)
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
C
A
B
A
B
A
D
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11．4 12. 5 13. 160 000 14. 4,23 15. 16.6
三、解答题（共9题，满分86分）
17．（本题满分8分）
解 ∵四边形∽四边形
∴ ∠=∠ ∠=∠ = 4分 （写出两个得3分）
∵四边形 ∴∠+∠+∠+∠= ∴∠=80 5分
∴∠α=∠= 80 6分
∵,, ∴ ∴=14 8分
18．（本题满分8分）
解：=
- =0 2分
∴(+3+1-2)(+3-1+2)=0 3分
∴(4-) (3+2) =0 4分
∴ 4-=0 或 3+2=0 6分
∴=4 =- 8分
解：=
+6+9=1-4+4 2分
∴3-10-8=0 3分
∴△=(-10)+4×3×(-8)=4 4分
∴ 6分
∴=4 =- 8分
19.（本题满分8分）
②如图
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①所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：1，
如图②所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为2：，
图正确各3分， 相似比各1分，共8分
20．（本题满分8分）
解：由题意得(10+90)＝1620， 4分
+90-1620=0
+9-162=0
解得x1＝9，x2＝－18(舍去) 7分
答： 9个月后利润和为1620万元 8分
21．（本题满分8分）
解（1）∵该方程有两个不相等的实数根 ∴△=4-4()＞0 2分
∴＜3 3分
（2）∵方程的一个根为1 ∴1+2+-2=0 ∴=-1 4分
当=-1时，原方程可化为： +2-3=0 5分
解方程+2-3=0 得=-3 ，=1 8分
∴的值为-1，方程的另一佷为-3
22．（本题满分10分）
解：(1)
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
3分
这两数差为0的概率为= 6分
(2) 两数的差为非正数的概率为= 8分
即小马赢的概率为，则小虎赢的概率为，
因此，游戏公平. 10分
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23．（本题满分10分）
证明：（1）（方法一）
∵垂直平分， ∴，， 2分
∴∠1=∠2
∵∠ = ∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4 ∴， ∴， 4分
∵ ∴， 5分
∴四边形是菱形； 6分
（法二）
∵垂直平分， ∠ = ∴， ∠ = 2分
∴∥ ∴ ∵ ∴ 4分
又∵ ∴ 5分
∴四边形是菱形； 6分
（2）
证明：∵菱形是正方形， ∴∠=∠＝45， 8分
又∵∠ = ∴∠=45 10分
（法二）∵菱形是正方形，∴∠＝ ∴⊥ 8分
又∵，∴
又∵∠ =
∴∠=45 10分
（其他方法参照给分）
24．（本题满分12分）
(1)∵四边形ABCD是正方形， = 1分
∴EH∥BC, ∴ 2分
即 = 3分
(2) ①∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， 4分
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∴∠COG=∠BOE=90°， ∴∠OEB+∠OBE=90°，
∵CF⊥BE， ∴∠OEB+∠OCG=90°，
∴∠OBE =∠OCG， 6分
②∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCB=∠OBA=∠OAB =45，
∵∠OBE =∠OCG ∴∠HCB =∠EBH 7分
设BH=x，
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，∴AH=1﹣x，
∵EH⊥AB， ∴∠AEH=∠EAH=45°， ∴EH=AH=1﹣x，
∵EH⊥AB， ∴∠EHB=∠HCC=90°，
∴△BHE∽△CBH， 8分
∴ 9分
∴ ∴x2=（1﹣x）•1， 10分
解得x= x=（舍去）， 11分 ∴HB= 12分
25．（本题满分14分）
解：（1）如图1中，∵∠A=50°，∠B=30°，∴∠ACB=100°，
∴△ABC不是等腰三角形， 1分
∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°，
∴∠ACD=∠A=50°， ∴△ACD为等腰三角形， 2分
∵∠DCB=∠A=50°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC， 3
∴CD是△ABC的完美分割线． 4分
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°． 6分
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，
∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°． 8分
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°， 9分
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°． 10分
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x， 11分
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
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∴x =1， 12分
∵△BCD∽△BAC，
∴， 13分
∴CD= 14分
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