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无锡市××中学2012～2013学年第一学期期中试卷
初三数学
（考试时间：120分钟 满分：130分）
一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是………………………………（ ）
A. x≥1 B. x＞－1 C. x≥－1 D. x≤－1
2．下列根式中，与是同类二次根式的是……………………………………… （ ）
A. B. C. D.
3．解方程2(5x－1)2－3(5x－1)＝0最适当的方法是……………………………… （ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
4．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻. 据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，则根据题意，可得方程……………………………………………… （ ）
A．5.4(1－x) 2＝4.2 B．5.4(1－x2)＝4.2 C．5.4(1－2x)＝4.2 D．4.2(1＋x) 2＝5.4
5．下列说法中，正确的是……………………………………………………………（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧
C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是弦且是同一个圆中最长的弦
6．若关于x的方程kx2―2x―1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （ ）
A．k＞－1 B．k＞－1且k≠0 C．k＜－1 D．k＜1且k≠0
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40º，则∠B的度数为………（ ） A．80º B．60º C．50º D．40º
8．形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的外端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为…………………………………………（ ）
A．(0，) B．(－1，) C．(，0) D．(1，)
9．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值是………………………………………………（ ）
A. B. C. 3 D.2
10. 在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是…………………………………（ ）
A．r＞4 B. 0＜r＜6 C. 4≤r＜6 D. 4＜r＜6
二．填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分.）
11. －2的绝对值是 .
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12. 在实数范围内分解因式：a2b―2b＝ ．
13．若实数x满足x2－2x－1＝0，则3x2－6x＋5＝ .
14. 关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是0，则a的值为 .
15. 若关于x的方程x2＋(a－1)x＋a2＝0的两根互为倒数，则a＝ .
16．如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22º，则∠A＝ º.
17．已知⊙O的半径为r，弦AB＝r，则AB所对圆周角的度数为 .
18．在Rt△ABC中，∠C＝90º，∠A＝60º，BC＝4cm，以点C为圆心、3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 .
19．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，BE＝1，∠AED＝30º，则CD的长为 .
B
O
·
C
A
（第16题图）
（第19题图）
（第20题图）
20．如图，P是双曲线y＝（x＞0）的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝3相切时，点P的坐标为 .
三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
21．（16分）计算：① ＋－20120＋()－1 ② ÷×
③ －(6－2x) ④ (1－)2－
22．（16分）解方程：① (x－2)2＝25 ② 2x2－3x－4＝0
③ x2－(＋)x＋＝0 ④ x2－2ax＋a2＝0 （a为常数）
23.（6分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，求AB的长度.（可利
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用的围墙长度超过6m）．
24.（7分）已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋2m－1＝0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.
25.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r．
26.（8分）已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点.
（1）求证：△CDP∽△PAF；
（2）设DP＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由.
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27.（9分）如图，在⊙O的内接△ABC中，AD⊥BC于D，
（1）①若作直径AP，求证：AB·AC＝AD·AP；
②已知AB＋AC＝12，AD＝3，设⊙O的半径为y，AB的长为x.
求y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（2）图2中，点E为⊙O上一点，且＝，求证：CE＋CD＝BD.
图1
O
D
B
.
A
C
P
图2
O
D
B
.
A
C
E
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28.（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（－5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF．
（1）当∠BAC＝30º时，求△ABC的面积；
（2）当DE＝8时，求线段EF的长；
x
y
A
B
O
C
D
E
F
（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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初三数学期中考试参考答案与评分标准 2012.11
一、选择题（每题3分）C B D A D B C A B D
二、填空题（每空2分）
11. 2－ 12. b(a＋)(a－) 13. 8 14. 2 15. －1
16. 44º 17. 45º或135º 18. 相交 19. 4 20. (1，4)或(2，2)
三、解答题
21. ①原式＝2＋－1＋2＝3＋1 ②原式＝＝
③原式＝2－3＋2＝ ④原式＝3－2－1＋＝2－
22. ① x1＝7，x2＝－3 ② x1,2＝ ③x1＝，x2＝
④x1＝x2＝a……………………………………（21、22每小题4分，分步酌情给分）
23. 设AB＝x，则BC＝6－2x……………………………………………………………（1分）
根据题意，x(6－2x)＝4……………………………………………………………（3分）
整理得，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2………………………………………（4分）
而x≠6－2x，即x≠2故x＝1………………………………………………………（5分）
答：该矩形花圃AB的长度为1米. ……………………………………………… （6分）
24.（1）∵△＝(m＋2)2－4(2m－1) ………………………………………………………（1分）
＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4＞0……………………………………………（2分）
∴原方程恒有两个不相等的实数根. ……………………………………………（3分）
（2）解得m＝2. ………………………………………………………………………（4分）
求出另一个根为3………………………………………………………………（5分）
以1、3为边长的直角三角形的第三边为2或…………………………（6分）
从而周长为4＋2或4＋.…………………………………………………（7分）
25.（1）连结OD……………………………………………………………………………（1分）
∵⊙O中，OB＝OD，∴∠1＝∠2；又∵AC平分∠ABC，∴∠2＝∠3，（图略）
∴∠1＝∠3，∴OD∥BC…………………………………………………………（2分）
又∵∠C＝90º，∴OD⊥AC………………………………………………………（3分）
∴AC是⊙O的切线…………………………………………………………… （4分）
（2）∵∠ADO＝∠C＝90º，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC…………………… （5分）
∴＝ …………………………………………………………………… （6分）
∴＝，解得r＝…………………………………………………… （8分）
26.（1）∵PF切⊙C于点P，∴CP⊥PF………………………………………………（1分）
∴∠1＋∠2＝90º，而矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90º，∴∠2＋∠3＝90º，
F
D
A
B
C
P
1
2
3
A’
∴∠1＝∠3，∴△CDP∽△PAF………………………………………………（2分）
（2）∴＝，即＝，……………（3分）
整理可得，y＝（0＜x＜3）…（5分）
（3）假设点A的落点为A’，则AA’⊥PF，AF＝A’F
…………………………………………（6分）
∴AA’∥PC，得□AA’CP，则A’B＝DP
在Rt△A’BF中，x2＋(2－y)2＝y2，……………………………………………（7分）
即x2＝4y－4＝－2x2＋6x－4，该方程无实数根，不存在符合要求的点P…（8分）
27.（1）①连结BP（图略）
∵AP是⊙O的直径，∴∠ABP＝90º＝∠ADC………………………………（1分）
又∵⊙O中，∠P＝∠C，∴△ABP∽△ADC…………………………………（2分）
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∴＝，即AB·AC＝AD·AP………………………………………………（3分）
②根据题意，x(12－x)＝2y×3，得y＝……………………………（4分）
O
D
B
.
A
C
E
F
由，得3＜x＜9………………………………………………（5分）
（2）在BC上截取BF＝EC，连结AE、AF
∵⊙O中，＝，∴AB＝AE………………（6分）
又∵∠B＝∠E，∴△ABF≌△AEC（SAS）……（7分）
∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴DF＝DC…………（8分）
∴CE＋CD＝BF＋DF＝BD………………………（9分）
28.（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90º…………………………………………（1分）
在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30º，∴BC＝5，AC＝5
∴S△ABC＝…………………………………………………………………（2分）
（2）连结AD，则AD＝AB＝10，当DE＝8时，AE＝6……………………………（3分）
∴BE＝4，即BE＝DE，且△AEF∽△DEB…………………………………（4分）
x
y
A
B
O
C
D
E
F
∴EF＝AE＝3…………………………………………………………………（5分）
（3）当的度数为60º时，点E恰好与原点O重合.
①当0º＜的度数＜60º时，点E在O、B之间.
∠EOF＞∠BAC＝∠D， 必须令∠EOF＝∠EBD，
此时有△EOF∽△EBD…………………………（6分）
另OF∥CE，＝＝＝，即＝，
x
y
A
B
O
C
D
E
F
解得x＝ 而x＞0，∴x＝（7分）
②当60º＜的度数＜90º时，点E在O点左侧.
若∠EOF＝∠B，则OF∥BD，OF＝BC＝BD，
且＝＝，即＝，解得x＝－……（9分）
若∠EOF＝∠BAC，则x＝－………………（10分）
综上所述，点E的坐标为(,0)、(－,0)、(－,0).
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