江苏省南通第一中学2012—2013学年度第一学期期中考试卷
高一数学
说明
1．本试卷满分160分，考试时间120分钟；
2．在答题纸的密封线内填写班级、姓名、考号，在右下角填上座位号，密封线内不要答题；
3．请将所有答案按照题号填写在答题纸相应的答题处，否则不得分．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应的位置上
1．若，则 ▲ ．
2．函数的定义域是 ▲ ．
3．已知幂函数的图象过点，则 ▲ ．
4．设函数满足，则的表达式是 ▲ ．
5．函数的值域是 ▲ ．
6．若,,则用“＞”将按从大到小可排列为 ▲ ．
7．已知函数，则 ▲ ．
8．若函数在区间上的最大值与最小值之和为，则a的值为 ▲ ．
9．给定函数：①,②,③,④，其中在区间上是单调减函数的序号是 ▲ ．（填上所有你认为正确的结论的序号）
10．已知方程的解所在区间为，则= ▲ ．
11．已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是 ▲ ．
12．定义在实数集R上的奇函数满足：①在内单调递增，②，则不
等式的解集为 ▲ ．
13．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
14．已知函数，现给出下列命题：
① 当其图象是一条连续不断的曲线时，则=；
② 当其图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数使在上是增函数；
③ 当时，不等式恒成立；
④ 函数是偶函数．
其中正确命题的序号是 ▲ ．（填上所有你认为正确的命题的序号）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸相应的位置上作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤
15．（本小题满分14分）
设全集R，集合，．
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数的取值范围
16．（本小题满分14分）
（1）计算的值；
（2）已知，求和的值．
17．（本小题满分15分）
已知为定义在R上的奇函数，当时，为二次函数，且满足，在上的两个零点为和．
（1）求函数在R上的解析式；
（2）作出的图象，并根据图象讨论关于的方程根的个数．
18．（本小题满分15分）
已知函数，其中，记函数的定义域为D．
（1）求函数的定义域D；
（2）若函数的最小值为，求的值；
（3）若对于D内的任意实数,不等式＜恒成立,求实数的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知函数（R）．
（1）试判断的单调性，并证明你的结论；
（2）若为定义域上的奇函数，
① 求函数的值域；
② 求满足的的取值范围．
20．（本小题满分16分）
若函数满足下列条件：在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质．
（1）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；
（2）已知函数具有性质，求的取值范围；
（3）试探究形如：①,②,③,④
,⑤的函数，指出哪些函数一定具有性质?并说明理由．
新 课 标 第 一 网
班级__________ 姓名______________ 考试号_________________
…………………………密……………………………封…………………………线……………………
江苏省南通第一中学2012—2013学年度第一学期期中考试卷
高一数学答卷纸
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸相应的位置上作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
16．（本小题满分14分）
新 课标 第一网
17．（本小题满分15分）
y
x
O
座位号
18．（本小题满分15分）
19．（本小题满分16分）
20．（本小题满分16分）
江苏省南通第一中学2012—2013学年度第一学期期中考试
高一数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题纸相应的位置上.
1． 2．
3．9 4．（或写成）
5． 6．c＞a＞b
7．4 8．
9．②④ 10．4
11．a≤ 12．
13． 14．①③新|课|标 |第|一|网
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸相应的位置上作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
解：（1）∵
∴ ……………………………………4分
∴ ……………………………………7分
（2）由得 ……………………………………9分
根据数轴可得， ……………………………………12分
从而 ……………………………………14分
16．（本小题满分14分）
解：（1）原式
…………………………………4分
…………………………………7分
（2） …………………………………10分
∵
∴由得 …………………………………14分
（注：不指出得扣1分；直接得扣2分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意，当时，设，
，∴，∴ ……………………………2分
（注：设一样给分）
当时，，∵为上的奇函数，∴，
∴
即时， ……………………………5分
当时，由得： ……………………………6分
1
1
-1
-1
2
2
-2
-2
3
3
-3
-3
4
4
-4
-4
y
x
O
所以． ……………………………7分
（2）作出的图象（如图所示）
…………………10分
（注：的点或两空心点不标注扣1分，
不要重复扣分）
由得：，在图中作，
根据交点讨论方程的根：
当或时，方程有个根； ………………………………………11分
当或时，方程有个根； ………………………………………12分
当或时，方程有个根； ………………………………………13分
当或时，方程有个根； ………………………………………14分
当时，方程有个根． ………………………………………15分
18．（本小题满分15分）
解：（1）要使函数有意义：则有，解得
∴ 函数的定义域D为 ………………………………………2分
（2）
，，即， …………5分
由，得，． ……………………………7分
（注：不化简为扣1分）
（3）由题知－x2+2mx－m2+2m＜1在x∈上恒成立，
－2mx+m2－2m+1＞0在x∈上恒成立， ……………………………8分
令g(x)=x2－2mx+m2－2m+1，x∈，
配方得g(x)=(x－m)2－2m+1，其对称轴为x=m，
①当m≤－3时， g(x)在为增函数，∴g(－3)= (－3－m)2－2m+1= m2+4m +10≥0，
而m2+4m +10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤－3． ………………………10分
②当－3＜m＜1时，函数g(x)在（－3,－1）为减函数，在（－1, 1）为增函数，
∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜ ∴－3＜m＜ …………………12分
③当m≥1时，函数g(x)在为减函数，∴g(1)= (1－m)2－2m+1= m2－4m +2≥0，
解得m≥或m≤， ∴－3＜m＜ …………………14分
综上可得，实数m的取值范围是 (－∞，)∪[，+∞) …………………15分
19．（本小题满分16分）
解：（1）函数为定义域(－∞，+∞)，且，
任取(－∞，+∞)，且
则 ………………3分
∵在上单调递增，且
∴，，，，∴，
即，∴在(－∞，+∞)上的单调增函数． …………………5分
（2）∵是定义域上的奇函数，∴，
即对任意实数恒成立，
化简得，∴，即， ………………8分
（注：直接由得而不检验扣2分）
①由得，∵，∴， ……………10分
∴ ，∴
故函数的值域为． ………………………………………………12分
②由得，
且在(－∞，+∞)上单调递增，∴， …………………………14分
解得，
故的取值范围为． ……………………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）证明：代入，
得：，即， ……………………………………2分
解得，∴函数具有性质． …………………………………3分
（2）的定义域为R，且可得，]∵具有性质，
∴存在，使得,代入得，
化为，
整理得: 有实根， ……………………………5分
①若,得，满足题意； ……………………………………………6分
②若,则要使有实根，只需满足，
即，解得，∴，
综合①②,可得 ………………………………………8分
（3）解法一：函数恒具有性质，即关于的方程（*）恒有解. ………………………………………9分
①若，则方程（*）可化为
整理，得，当时，关于的方程（*）无解，
∴不恒具备性质； ………………………………………10分
②若，则方程（*）可化为，解得，
∴函数一定具备性质； …………………12分
③若，则方程（*）可化为无解，
∴不具备性质； ……………………………………………13分
④若，则方程（*）可化为，化简得，
当时，方程（*）无解，
∴不恒具备性质； …………………………14分
⑤若，则方程（*）可化为，化简得，
显然方程无解，
∴不具备性质； …………………………15分
综上所述，只有函数一定具备性质． …………16分
（注：第（3）问直接得一定具备性质而不说明理由
只给1分）
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