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一、 精心选一选（每题4分，共32分）
1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
2. 若两圆的半径分别是2cm和3cm，圆心距为5cm，则这两圆的位置关系是( )
A． 内切 B．相交 C．外切 D．外离
3.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
4.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )
A.a B. a C.3a D.a
5．如图，□ABCD中，EF∥AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长为（ ）
A． B．8 C．10 D．16
6．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则其旋转中心一定是点 （ ）
A．A 点 B．B 点 C．C点 D．D点
A
第5题
第6题
第7题
第8题
7．如图所示，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12m B．18m C．20m D．24m
8．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）
A ． B． C． B．
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二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．
10． 如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= _度.
11．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，ΔAED与N，M，C为顶点的三角形相似.
12. 如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，…，△的面积为，则= ；=____ （用含的式子表示）．
三、解答题（本题共28分）
13．（本题5分）计算：
14．（本题4分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，O、M也在格点上．
（1）画出△ABC关于直线OM对称的△A1B1C1
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；
（2）画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴．
15．（本题5分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1) 求证：△ADF∽△DEC；
(2) 若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求ED，AF的长.
16．（本题5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连结EB交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE=，AB=，求AE的长．
17. （本题5分）如图,Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，
（1）求证∠A=∠B.
（2）求图中阴影部分的面积.
18．（本题4分）已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点， 若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆与射线AN的另一个交点为C，请确定⊙P的位置，使BC恰与⊙P相切.
（1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）；
（2）连结BP并填空：① ∠ABC= °；
② 比较大小：∠ABP ∠CBP.
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（用“＞”、“＜”或“=”连接）
四、解答题（本题共23分）
19．（本题6分）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC=20米，斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（结果保留根号）．
A
B
C
D
20．（本题6分）已知：如图，等腰△ABC中，AB= BC，AE⊥BC 于E， EF⊥AB于F，，
（１）当ＢE=4时，求ＥＦ长．
（２）若CE=2求EF的长.
21．（本题6分）已知：如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在CB的延长线上，且AD=BE，求证：．
22. （本题5分）阅读下列材料：
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问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：
(1) 图2中∠BPC的度数为 ；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ．
图1 图2 图3
五、解答题（本题共21分，每题7分）
23．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．
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24．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=，求PC的长．
25.已知：中，，中，,. 连接、，点、、分别为、、的中点.
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图1 图2
(1) 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是__________，此时________；
(2) 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；
(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.
北京市三十一中学2012–2013学年度第一学期
初三年级数学期中答案
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14．（1）——————1` （2）——————2` （3）——————4`
15．（1）——————2` （3）求出ED=6 ——————3`，求出AF=————6`
16．（1）连结AD 证出OD⊥BE-----2分
（2）证出△CED∽△EBA--------3分
求出CE=1-------4分
求出AE=1.5--------5分
17、（1）连结OD、OE------------1分
证出∠A=∠B------------2分
（2）求出扇形半径------------3分
S阴=2-------------6分
18．解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分
（2）① ∠ABC= 45 °；- - - - - - -3分
② ∠ABP ＜ ∠CBP . - - - - - - 4分
19、画出求法示意图------------1分
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求出CE=------------2分
求出BF=20+（或DF=20+）-----------4分
求出AB=-----------6分
21.辅助线 ；………………………………………………………………………… 1分
转化一组比；………………………………………………………………………… 2分
转化二组比 ；………………………………………………………………………… 3分
等量代换 ；………………………………………………………………………… 4分
答案 ；………………………………………………………………………… 5分
2３：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
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∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；……………………………………………… 2分
（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，……………………………………………… 4分
∴，
∵BP=a，CQ=a，BE=CE，
∴BE=CE=a，
∴BC=3a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，
连接PQ，
在Rt△APQ中，PQ==a．……………………………………………… 7分
25. 解：(1)等边三角形，1；(每空1分) ------------------------2分
（2）证明：连接、.
由题意，得，,.
∵ 、、三点在同一直线上，
∴ 、、三点在同一直线上.
∴ .
∵ 为中点，
∴ 在Rt△中，.
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在Rt△中，.
∴ .---------------------------3分
∴ 、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上.
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ . ----------------------------------4分
∴ .
由题意，，又.
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