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第2章
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，是轴对称图形的是(A)
2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)
A. a＝1，b＝2，c＝3 B. a＝2，b＝3，c＝4
C. a＝2，b＝4，c＝5 D. a＝3，b＝4，c＝5
3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)
A．20° B．35°
C．40° D．70°
(第4题)
(第5题)
5．如图，已知D为△ABC的边AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于(B)
A. 65° B. 50° C. 60° D. 57.5°
【解】 ∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来的，
∴DF＝AD.
∵D是AB的中点，∴AD＝BD.∴BD＝DF.
∴∠B＝∠BFD.
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∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°－∠B－∠BFD＝180°－65°－65°＝50°.
(第6题)
6．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)
A. 2 B.
C. D. 2
7．如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝(B)
A．25 B．31
C．32 D．40
,(第7题)) , (第8题))
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的个数是(D)
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(第9题)
9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)
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A．20° B．25° C．30° D．45°
(第9题解)
【解】 如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，
则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4.
∴∠AME＝∠AEM＝60°.∴AM＝AE＝2.
∴BM＝AB－AM＝2.
∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵EM∥BC，∴AD⊥EM.
∴点E和点M关于AD对称．
连结CM交AD于点F，连结EF，
则此时EF＋CF的值最小．
∵AC＝BC，AM＝BM，
∴∠ECF＝∠ACB＝30°.
10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE.其中正确的是(C)
A. ② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
(第10题)
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(第10题解)
【解】 如解图，在EA上取点F，使EF＝BE，连结CF.
∵CE⊥AB，EF＝BE，
∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B.
∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC.
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC.
在△ACD和△ACF中，∵
∴△ACD≌△ACF(AAS)．
∴AD＝AF，CD＝CF.∴CD＝CB，故①正确．
AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．
根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，
故③错误．
AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．
综上所述，正确的是①②④.
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝30°．
,(第11题)) ,(第12题))
12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高AD是__8__ cm.
13．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝87°．
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,(第13题)) ,(第14题))
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝4∶5∶6．
15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．
(第15题)
【解】 ∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.
设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝.
∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－.
∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2α＋102°－＝180°，
解得α＝52°，即∠ADC＝52°.
16．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是．
, (第16题)) , (第16题解))
【解】 如解图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连结OA，由角平分线的性质知OD＝OE＝OF，
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×21×3＝.
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17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．
,(第17题)) ,(第17题解))
【解】 过点A作AD⊥BC于点D，如解图．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝BC＝3，
∴AD＝＝4.
易得当BP⊥AC时，BP有最小值．
此时AD·BC＝BP·AC，
得4×6＝5BP，∴BP＝.
18．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是__5__．
(第18题)
(第18题解)
【解】 如解图，连结C′C.
∵M是AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，
∴CM＝A′M＝C′M＝AC＝5，
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∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°.
∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5.
(第19题)
19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝．
【解】 ∵第一个正方形的边长为1，
第二个正方形的边长为＝，
第三个正方形的边长为＝，
……
第n个正方形的边长为，
∴第n个正方形的面积为＝，
第n个等腰直角三角形的面积为×＝，
∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝＋＝.
(第20题)
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，CD＝1，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处．若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1＋．
【解】 ∵将△ACD沿直线AD翻折，点C与点E重合，
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∴∠AED＝∠ACD＝90°，ED＝CD＝1.
易得当点P与点D重合时，△PEB的周长最小，最小值为BD＋ED＋EB.
∵∠ABC＝60°，∠DEB＝90°，∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE.
设BE＝x，则BD＝2x.
由勾股定理，得12＋x2＝(2x)2，解得x＝，即BE＝.∴BD＝.
∴BD＋ED＋EB＝1＋，即△PEB的周长的最小值是1＋.
三、解答题(共40分)
21．(6分)如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
(第21题)
【解】 ∵AB＝AC＝AD，
∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.
∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝2∠D.
又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
(第22题)
22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．
【解】 △DEF是等边三角形．理由如下：
∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，
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∴∠AFD＝30°，
∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°.
同理，∠FDE＝∠DEF＝60°.
∴△DEF是等边三角形．
(第23题)
23．(8分)如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD与OE交于点F.
(1)求证：∠1＝∠2.
(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．
(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE的面积之差．
【解】 (1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE＝DE，∴∠1＝∠2.
(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，∵
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．∴OC＝OD.
又∵CE＝DE，∴OE是线段CD的垂直平分线．
(3)∵∠1＝30°，∠OCE＝90°，∴∠OCD＝60°.
∵OC＝OD，
∴△OCD是边长为2的等边三角形，
∴CD＝OC＝2，∠COD＝60°，
∴∠COE＝∠DOE＝∠COD＝30°，
∴OE＝2CE.
设CE＝x，则OE＝2x.
由勾股定理，得(2x)2＝x2＋22，
解得x＝，即CE＝，OE＝.
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∵∠1＝30°，∠EFC＝90°，
∴EF＝CE＝，∴OF＝OE－EF＝，
∴S△OCD－S△CDE＝·CD·OF－·CD·EF＝.
24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF.
(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．
(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝2，求此时线段CF的长(直接写出结果)．
(第24题)
【解】 (1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，
∴DF＝BF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.
∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF.
∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，
∴∠DFE＝2∠DBF.
同理，∠CFE＝2∠CBF，
∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF.
(2)(1)中的结论仍然成立．
证明：如解图①，延长DF交BC于点G.
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC.
∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.
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∵F为BE的中点，∴EF＝BF.
∴△DEF≌△GBF(AAS)．∴DE＝GB，DF＝GF.
∵AD＝DE，∴AD＝GB.
∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，
即DC＝GC.
∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．
∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF.
(第24题解)
(3)如解图②，延长DF交BA于点H.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AD＝DE，
∠AED＝∠ABC＝45°.
由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，
∴AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.
∵F是BE的中点，∴EF＝BF.
又∵∠DFE＝∠HFB，
∴△DEF≌△HBF(ASA)．∴ED＝BH.
∵BC＝AC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝4.
∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3.
∵∠BAD＝90°，∴DH＝，
∴DF＝.∴CF＝.
25．(10分)问题探究：
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(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．
(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
(第25题)
【解】 (1)BD＝CE.理由如下：
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD.
在△EAC和△BAD中，∵
∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴BD＝CE.
(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结EA，EB，EC.
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD.
在△EAC和△BAD中，∵
∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴EC＝BD.
∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7 .
易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝45°＋45°＝90°.
∴EC＝＝＝.
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∴BD＝EC＝.
(第25题解)
(3)如解图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB，交BC的延长线于点E.
∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°.
又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°.
∴AE＝AB＝7，∴BE＝＝7 .
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠DAC＝90°＝∠BAE，
∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD.
在△EAC和△BAD中，∵
∴△EAC≌△BAD(SAS)．∴EC＝BD.
又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝7 －3.
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