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第1章
一、选择题(每小题3分，共30分)
(第1题)
1．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，则下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(B)
A. ∠M＝∠N
B. AM＝CN
C. AB＝CD
D. AM∥CN
2．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(C)
A. 5 B. 6
C. 12 D. 16
3．如图，图中∠1的度数为(D)
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
(第3题)
(第4题)
4．如图，把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为(C)
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A. 15° B. 20°
C. 25° D. 30°
(第5题)
5．如图，在余料ABCD中，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.若∠A＝96°，则∠EBC的度数为(B)
A. 45° B. 42°
C. 36° D. 30°
6．如图，已知∠1＝∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD的交点为C，则图中的全等三角形共有(C)
A. 2对 B. 3对
C. 4对 D. 5对
, (第6题)) ,(第7题))
7．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝72°，则∠E等于(B)
A．18° B．36°
C．54° D．72°
【解】 可证△ADB≌△CDE，△ABD≌△CBD，
∴∠E＝∠ABD＝∠ABC＝36°.
(第8题)
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8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BOC∶S△CAO＝(C)
A．1∶1∶1 B．9∶10∶11
C．10∶11∶12 D．11∶12∶13
【解】 利用角平分线的性质定理可得△ABO，△BOC，△CAO分别以AB，BC，AC为底时，高线长相等，则它们的面积之比等于底之比．
9．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为(B)
A. 70° B. 80°
C. 50° D. 55°
【解】 连结BC.
∵∠BDC＝140°，∴∠DBC＋∠DCB＝40°.
又∵∠BGC＝110°，∴∠GBC＋∠GCB＝70°.
∴∠GBD＋∠GCD＝30°.
∴∠ABD＋∠ACD＝60°.
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∴∠A＝80°.
,(第9题)) ,(第10题))
10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则m＋n与b＋c的大小关系是(A)
A. m＋n＞b＋c B. m＋n＜b＋c
C. m＋n＝b＋c D. 无法确定
(第10题解)
【解】 如解图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连结ED，EP.
∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAD＝∠EAD.
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在△ACP和△AEP中，
∵
∴△ACP≌△AEP(SAS)．∴PC＝PE.
在△PBE中，PB＋PE＞AB＋AE，
即PB＋PC>AB＋AC.
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m＋n＞b＋c.
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．如图，已知△ABC的周长为3 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则图中阴影部分图形的周长为__3__cm.
,(第11题)) , (第12题))
12．如图，在△ABC中，AB>AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD.若AB＝8，AC＝4，则△ACD的周长为12．
13．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则化简式子|x－2|＋|x－9|＝__7__．
【解】 提示：2＜x＜8.
(第14题)
14．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝__3__．
【解】 在△ABE和△ACD中，
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∵
∴△ABE≌△ACD(AAS)．
∴AC＝AB＝5.
∵AE＝2，∴CE＝3.
15．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，在图中找两个格点D和E，使∠ABE＝∠ACD＝90°，并使AC＝DC，AB＝EB，则四边形BCDE的面积为__3__．
,(第15题)) ,(第15题解))
【解】 如解图，四边形BCDE的面积为8－3－－＝3.
(第16题)
16．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.有下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④AD＝CD.其中正确结论的序号是①②③．
【解】 ∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO.
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，故①正确．
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在△ABC和△ADC中，∵
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴CB＝CD，故②③正确．
AD与CD不一定相等，故④错误．
综上所述，正确结论的序号是①②③.
(第17题)
17．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的交点为G.若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．
【解】 ∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△ABD＝S△ACD，S△AFG＝S△BFG，
S△AGE＝S△CGE，S△BDG＝S△CDG，
∴S△ABG＝S△ACG.∴S△BFG＝S△CGE.
同理，S△BFG＝S△BDG，∴图中6个小三角形的面积都相等．∴S阴影＝S△ABC＝4.
18．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝90°．
(第18题)
(第18题解)
【解】 如解图．
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∵AB∥DC，∴∠2＝∠3.
∵∠3＋∠4＝180°，∴∠2＝180°－∠4.
又∵∠1＋∠4＝90°，即∠1＝90°－∠4.
∴∠2－∠1＝180°－∠4－(90°－∠4)＝90°.
(第19题)
19．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2……依此类推，∠BD5C的度数是56°．
【解】 ∵∠A＝52°，
∴∠ABC＋∠ACB＝128°.
∵BD1，CD1分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠D1BC＋∠D1CB＝(∠ABC＋∠ACB)＝64°.∴∠D1＝180°－64°＝116°.
同理，∠D2＝180°－64°－×64°＝84°……
∴∠D5＝180°－64°－×64°－×64°－×64°－×64°＝56°.
20．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的)后得到图③……记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1＝．
(第20题)
【解】 ∵P1＝3，P2＝2，P3＝2，P4＝2，
∴P4－P3＝＝＝……
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故Pn－Pn－1＝.
三、解答题(共40分)
21．(6分)如图，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：AD＝A1D1.
(第21题)
【解】 ∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB＝A1B1，∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1.
∵AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC，∠B1A1D1＝∠B1A1C1.
∴∠BAD＝∠B1A1D1.
在△ABD与△A1B1D1中，
∵
∴△ABD≌△A1B1D1(ASA)．
∴AD＝A1D1.
(第22题)
22．(6分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD.
(1)求证：△ABE≌△CBD.
(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度数．
【解】 (1)∵∠ABC＝90°，
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∴∠CBD＝90°＝∠ABC.
在△ABE和△CBD中，
∵
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠CDB.
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝27°＋45°＝72°，
∴∠BDC＝72°.
(第23题)
23．(6分)如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数．
【解】 ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，
∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.
设BE与CD的交点为F.
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ABC≌△ADC.
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD.
∴∠FBC＝2∠2＝2×25°＝50°，
∠FCB＝2∠3＝2×15°＝30°.
∵∠α是△FBC的一个外角，
∴∠α＝∠FBC＋∠FCB＝50°＋30°＝80°.
24．(6分)如图，已知BD，CE是△ABC的高线，点F在BD上，BF＝AC，点G在CE的延长线上，CG＝AB.求证：AG⊥AF.
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(第24题)
【解】 ∵BD，CE是△ABC的高线，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵∠EHB＝∠DHC，∴∠EBH＝∠DCH.
又∵BF＝CA，AB＝GC，
∴△ABF≌△GCA(SAS)．∴∠BAF＝∠G.
∵∠AEG＝90°，∴∠G＋∠GAE＝90°，
∴∠BAF＋∠GAE＝90°，即∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF.
(第25题)
25．(6分)如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝AB.求证：AQ⊥AP.
【解】 ∵BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABP＋∠EAF＝90°，∠ACQ＋∠EAF＝90°，
∴∠ABP＝∠ACQ.
在△ABP和△QCA中，
∵
∴△ABP≌△QCA(SAS)．
∴∠APB＝∠QAC.
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∴∠APB＋∠PAE＝∠QAC＋∠PAE，
即180°－∠AEP＝∠PAQ.
∴∠PAQ＝90°，即AQ⊥AP.
26．(10分)旧知新意：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
(1)尝试探究：
如图①，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC＋∠ECB之间的数量关系．
(2)初步运用：
如图②，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE.若∠1＝130°，则∠2－∠C＝50°．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P＝90°－∠A．
(3)拓展提升：
如图④，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，则∠P与∠A，∠D有何数量关系？
(第26题)
【解】 (1)∠DBC＋∠ECB＝(180°－∠ABC)＋(180°－∠ACB)＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A.
(2)∵∠1＋∠2＝180°＋∠C，
∴130°＋∠2＝180°＋∠C，
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∴∠2－∠C＝50°.
∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，
∴∠PBC＋∠PCB＝(∠DBC＋∠ECB)＝(180°＋∠A)，
∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(180°＋∠A)＝90°－∠A，
即∠P＝90°－∠A.
(第26题解)
(3)如解图，延长BA，CD相交于点Q，
则∠P＝90°－∠Q，
∴∠Q＝180°－2∠P，
∴∠BAD＋∠CDA＝180°＋∠Q＝180°＋180°－2∠P＝360°－2∠P.
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