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昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测
数 学 试 卷（理科）
（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1
考生须知：
1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．X|k |B| 1 . c|O |m
（1）设集合，则等于
A． B．
C． D．
（2）“”是“直线垂直”的
A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
（3）已知函数，则函数的零点所在的区间是
A.（0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4）
（4）设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是
A. B. C. D.
（5）设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
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（6）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A. 24 B. 36 C. 48 D.60
（7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为
A.
B．
C.
D.
（8）已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是
命题是奇函数； 命题在上是增函数；
命题； 命题的图像关于直线对称
A．命题 B．命题 C．命题 D．命题
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）X k B 1 . c o m
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）若，其中是虚数单位，则实数的值是____________.
（10）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.
（11）在中，若,，，则= .
（12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．
(13)在中，，，是的中点，那么 ____________;若是的中点，是（包括边界）内任一点．则的取值范围是___________. w W w .x K b 1.c o M
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（14）在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则
① 到坐标原点的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;
② 坐标原点与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
w W w .x K b 1.c o M
(16) （本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：
甲厂 乙厂
9 0
3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3
1 5 0 3 2 1 0 3
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品.
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
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（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数的分布列及其数学期望；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．
（18）（本小题满分13分）已知函数（）.
（Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；
（Ⅱ）若存在，使，求a的取值范围．
（19）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．w W w .x K b 1.c o M
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值．
（20）（本小题满分14分）
已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，
（Ⅰ）设数列，求；
（Ⅱ）若中最大的项为50， 比较的大小；
（Ⅲ）若，求函数的最小值．
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数 学 试卷 参考答案（理科）
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一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题 号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）w w w .x k b 1.c o m
（7）
（8）
答案
C
A
B
D
C
D
B
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9） （10）
（11） 3 （12）4
（13） 2; [-9,9] （14）
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（15）(本小题满分13分) w W w .x K b 1.c o M
解：（Ⅰ）由得(Z)，
故的定义域为RZ}．…………………2分
因为
，………………………………6分
所以的最小正周期．…………………7分
（II）由 …………..9分
当，…………….11分
当.……………….13分
（16）(本小题满分14分)
解：（I）连接.
由是正方形可知,点为中点.
又为的中点，
所以∥………………….2分
又xkb1.com
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所以∥平面………….4分w w w .x k b 1.c o m
(II) 证明：由
所以
由是正方形可知, http://w ww.xkb1.com
又
所以………………………………..8分 X k b 1 . c o m
又
所以…………………………………………..9分
(III)解法一：
在线段上存在点，使. 理由如下：
如图，取中点，连接.
在四棱锥中，，
所以.…………………………………………………………………..11分
由（II）可知，而
所以，
因为
所以…………………………………………………………. 13分
故在线段上存在点，使.
由为中点，得…………………………………………… 14分
解法二：
由且底面是正方形，如图，
建立空间直角坐标系
由已知设，
则
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设为线段上一点，且，则
…………………………..12分
由题意，若线段上存在点，使，则，.
所以，，http://w ww.xkb1.com
故在线段上存在点，使，且…………………… 14分
（17）(本小题满分13分)
解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为………………..2分
（II）的取值为0，1，2，3.
xkb1.com
所以的分布列为
0
1
2
3
故……………………9分
(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”
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抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为…13分
（18）(本小题满分13分)
解：（I） …………………………. ……………1分
根据题意， …………………3分
此时，,则.
令 新课 标 第 一 网
-
+
↘
↗
…………………………………………………………………………………………. 6分
∴当时，最小值为. ………………………7分
（II）
①若上单调递减.
又
…………………………………………..10分
②若
从而在（0，上单调递增，在（，+上单调递减.
根据题意， …………….............................. 13分
综上，的取值范围是.
（19）(本小题满分13分)
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解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为……5分
（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，
则由 w W w .X k b 1.c O m
消去得，， …………………6分
， ①…………7分
设点的坐标分别为，则：
，…………8分
由于点在椭圆上，所以 . ……… 9分
从而，化简得，经检验满足①式.
………10分
又点到直线的距离为：
………11分
当且仅当时等号成立 ………12分
当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，新-课- -第-一 -网
从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .
所以点到直线的距离最小值为 . ………13分
（20）(本小题满分14分)
解: (I) 因为数列，
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所以，
所以 …………………4分
(II) 一方面，，
根据的含义知，
故，即 ， ①
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50，所以当时必有，
所以X|k |B | 1 . c|O |m
即当时，有； 当时，有 …9分
（III）设为中的最大值.
由（II）可以知道，的最小值为.
根据题意，
下面计算的值.
X k B 1 . c o m
，
∵ ， ∴，
∴最小值为. ………………………………………….14分
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