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北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末考试
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合，则满足的集合B的个数是
（A） (B) (C) (D)
（2）已知是实数，是纯虚数，则等于
（A） （B） （C） （D）
（3）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若，是两个非零向量，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件新|课 | 标| 第 |一| 网
（6）已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是
（A） （B） （C） （D）
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（7）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
（8）给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为新-课-标 -第-一-网
（A） （B） （C） （D）
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x
y
O
1
3
y=3x2
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若，且，则 ．
（10）图中阴影部分的面积等于 ．
（11）已知圆：，则圆心的坐标为 ；
若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ．
（12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .
（14）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①；②若，；③，
则 ， ．X k B 1 . c o m
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值．
（16）（本小题共13分）
已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
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（Ⅱ）若，求数列的前项和.
（17）（本小题共14分）
如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）求证： // 平面；新 课 标 第 一 网
A
B
C
D
E
N
M
（Ⅲ）求二面角的大小.
（18）（本小题共13分）
已知，函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
（19）（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.
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（20）（本小题共14分）
已知实数组成的数组满足条件：
①； ②.
(Ⅰ) 当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设,且，
求证：.
w W w .X k b 1.c
O m
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东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）C （4）A
（5）C （6）D （7）D （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）http://www.x kb1.com
（9） （10） （11）
（12） （13）乙 （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）
.……………………………………………3分
所以．……………………………………………………………4分
由，
得．
故函数的单调递减区间是（）．…………………7分
（Ⅱ）因为，
所以．X k B 1 . c o m
所以．…………………………………………………………10分
因为函数在上的最大值与最小值的和，
所以．…………………………………………………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，.………………………………………1分
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当时，.…………………………………………………3分
因为是等比数列，
所以，即..……………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
则. ①
. ②
①-②得 …………………9分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为F
A
B
C
D
E
N
M
y
x
z
，
所以平面.……………………2分
又因为平面，
所以.……………………4分
（Ⅱ）与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
所以是的中点.
因为是的中点，
所以.…………………………7分
又平面，
平面，新|课 |标 |第 |一| 网
所以平面. ……………………………………………………………9分
（Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得.
如图建立空间直角坐标系，则，, ，
.
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，.…………………………………………10分
设平面的法向量为.
则
所以 w W w .x K b 1.c o M
令.
所以.……………………………………………………………12分
又平面的法向量，
所以.
所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，，，
所以，.………………………………2分
因此．
即曲线在点处的切线斜率为. …………………………4分
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．……………………………………………6分
（Ⅱ）因为，所以．http://ww w.xkb1.com
令，得． ……………………………………………8分
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
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当时，，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．………………………………10分
③若，则当时，，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值．…………………………………12分
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．……………13分
（19）（共13分）X |k |B| 1 . c|O |m
解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．……………………………………………………………………………3分
故曲线的方程为． …………………………………………………5分
（Ⅱ）存在△面积的最大值. …………………………………………………6分
因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．
则
整理得 ．…………………………………7分
由．
设．
解得 ， ．
则 ．
因为
． ………………………10分
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设，，．
则在区间上为增函数．新|课 | 标|第 |一| 网
所以．
所以，当且仅当时取等号，即．
所以的最大值为．………………………………………………………………13分
（20）（共14分）
(Ⅰ)解：
由（1）得，再由（2）知，且.
当时，.得，所以……………………………2分
当时，同理得………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：当时，
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
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（Ⅲ）证明：因为，且.
所以,
即 .……………………………11分
)
.……………………………………………………………14分
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