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北京市东城区2012-2013学年上学期期末调研
高三数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合，，，则等于
(A) (B) (C) (D)
（2）复数等于
（A） (B) ( C) ( D)
（3）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的的值为 新|课 |标|第 |一| 网
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）“成立”是“成立”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）已知，满足不等式组 则目标函数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
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（7）已知抛物线的焦点到其准线的距离是，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为
（A）32 （B）16 （C）8 （D）4X k B 1 . c o m
（8）给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为
（A） （B） （C） （D）
w W w .x K b 1.c o M
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第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若向量，满足，，且，的夹角为，则 ， ．
（10）若，且,则 ．
（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体积为 ．
（12）已知圆：，则圆心的坐标为 ；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ．http: //www.x kb1.com
（13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .
（14）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①，②若，；③
则 ； .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．新课 标第 一 网
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（16）（本小题共13分）
已知为等比数列，其前项和为，且.
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
新|课 |标 | 第 | 一| 网
（17）（本小题共13分）
如图，在菱形中， ⊥平面，且四边形是平行四边形．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.
A
B
C
D
E
N
M
（18）（本小题共13分）
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围.
（19）（本小题共14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；新|课 | 标|第 |一| 网
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（Ⅱ）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.
（20）（本小题共14分）
已知实数组成的数组满足条件：
①； ②.
(Ⅰ) 当时，求，的值；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设,且，w W w .X k b 1.c O m
求证：.
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东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 （文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）D （3）C （4）A
（5）B （6）B （7）A （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）X|k |B | 1 . c|O |m
（9） （10） （11）
（12） （13）乙 （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）
.…………………………………………………4分
所以．……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）因为，
所以．
所以．………………………………………………………10分
当时，函数的最小值是，
当时，函数的最大值是．…………………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，.……………………………………1分
当时，.……………………………………………3分
因为是等比数列，新|课 | 标|第 | 一| 网
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所以，即..…………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.
则. ①
. ②
①-②得 ……………………9分
……………………………………11分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）连结，则.
由已知平面，
因为，
所以平面.
又因为平面，X k B 1 . c o m
所以. ………………………………………………6分
A
B
C
D
E
N
M
F
（Ⅱ）当为的中点时，有平面.……7分
与交于，连结.
由已知可得四边形是平行四边形，
是的中点，
因为是的中点，
所以.……………………10分
又平面，
平面，
所以平面.……………………13分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，，
又，所以.
又，
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所以所求切线方程为 ，即.
所以曲线在点处的切线方程为.………6分
（Ⅱ）因为，
令，得或.………………………8分w W w . x K b 1.c o M
当时，恒成立，不符合题意. ……………………………9分
当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，
则解得.……………………………………………11分
当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是或. …………………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为.
由已知可得………………………………………………3分
解得，.X k B 1 . c o m
故椭圆的方程为．………………………………………………………6分
（Ⅱ）由已知，若直线的斜率不存在，则过点的直线的方程为，
此时，显然不成立．…………………………7分
若直线的斜率存在，则设直线的方程为．
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则
整理得．………………………………………………9分
由
．
设．
故，① ． ②………………………………10分
因为，即．③
①②③联立解得． ………………………………13分
所以直线的方程为和．……………14分
（20）（共14分）
(Ⅰ)解：
由（1）得，再由（2）知，且.
当时，.得，所以……………………………2分
当时，同理得………………………………………………4分
（Ⅱ）证明：当时，
由已知,.
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所以
.………………………………………………9分
（Ⅲ）证明：因为，且.
所以,
即 .……………………………11分
)
.……………………………………………………………14分
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