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海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （文科） 2013.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 复数化简的结果为
A. B. C. D.
2. 向量, 若, 则实数的值为
A. B. C. D.
3. 在等边的边上任取一点，则的概率是
A. B. C. D.
4.点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为
A．2 B. 3 C. 4 D.5
5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出
的的值分别为
A. B.
C. D.
6.已知点, 且, 则直线的方程为
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7. 已知函数 则下面结论中正确的是
A. 是奇函数 B. 的值域是X|k |B | 1 . c|O |m
C. 是偶函数 D. 的值域是
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8. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是
棱的中点，是侧面内一点，若平面
则线段长度的取值范围是
A． B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 的值为________.
10. 双曲线的渐近线方程为_____；离心率为______.
11. 数列是公差不为0的等差数列，且，则
12. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为_________.
13. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如
图所示，则棱的长为______. w W w .x K b 1.c o M
14. 任給实数定义 设函数，
则=______；若是公比大于的等比数列，且，
则
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数，三个内角的对边分别为且.
（I） 求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值.
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16. （本小题满分13分）
某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表: http://www.xkb 1.com
A型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
3
30
5
7
5
B型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
10
10
15
10
5
（I） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只
需写出结果）；
（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽
车是A型车的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据
所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，
，且是中点.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面.
X|k |B| 1 . c|O |m
18.（本小题满分13分）
已知函数与函数在点处有公共的切线，设
.
（I） 求的值；
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
.
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19. （本小题满分14分）
已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.
经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.
20. （本小题满分13分）新 |课 |标|第 |一| 网
已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为
“一阶比增函数”.
(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”，求证：，；
（Ⅲ）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.
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海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （文）
参考答案及评分标准 2013．1
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
B
C
B
D
B
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
9．1
10．
11．
12．
13．
14．0；
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为 w W w . X k b 1.c O m
………………6分
又，， ………………7分
所以， ………………9分
（Ⅱ）由余弦定理
得到，所以 ………………11分
解得（舍）或 ………………13分
所以
16. （本小题满分13分）
解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大
………………3分
（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为
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这辆汽车是A类型车的概率为 ………………7分
（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为
………………9分
50辆B类型车出租的天数的平均数为
………………11分
答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车
………………13分
X|k |B| 1 . c|O |m
答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车 ………………13分
17. （本小题满分14分）
解：(I) 连接交于点，连接
因为为正方形，所以为中点
又为中点，所以为的中位线，
所以 ………………3分
又平面，平面
所以平面 ………………6分
(Ⅱ)因为，又为中点，所以 ………………8分
又因为在直三棱柱中，底面，
又底面, 所以,
又因为，所以平面，
又平面，所以 ………………10分
在矩形中, ,所以，
所以，即 ………………12分
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又，所以平面 ………………14分
18. （本小题满分13分）
解：（I）因为所以在函数的图象上
又，所以
所以 ………………3分
（Ⅱ）因为，其定义域为X k B 1 . c o m
………………5分
当时，，
所以在上单调递增，
所以在上最小值为 ………………7分
当时，令，得到(舍)
当时，即时，对恒成立，
所以在上单调递增,其最小值为 ………………9分
当时，即时, 对成立，
所以在上单调递减，
其最小值为 ………………11分
当,即时, 对成立, 对成立
所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为………13分
综上，当时， 在上的最小值为
当时，在上的最小值为
当时, 在上的最小值为.
19. （本小题满分14分）
解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又
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所以所以椭圆方程为 ………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1, 新 课 标 第 一 网
所以直线方程为,和椭圆方程联立得到
,消掉,得到 ………………5分
所以
所以 ………………7分
（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等， ………………8分
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设w W w .x K b 1.c o M
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然，方程有根，且 ………………10分
此时
………………12分
因为,上式，（时等号成立）
所以的最大值为 ………………14分
20. （本小题满分13分）
解：（I）由题在是增函数，
由一次函数性质知
当时，在上是增函数，
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所以 ………………3分
（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，
又，有，新|课 |标 |第 |一| 网
所以， ………………5分
所以，
所以
所以 ………………8分
（Ⅲ）设，其中.
因为是“一阶比增函数”，所以当时，
法一：取，满足，记
由（Ⅱ）知，同理，
所以一定存在，使得，
所以 一定有解 ………………13分
法二：取，满足，记
因为当时，，所以对成立
只要 ，则有，
所以 一定有解 ………………13分
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