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石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷
高三数学（文）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 若复数, ,则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．为平行四边形的一条对角线，（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则⊥
D．若，则
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6．执行右面的框图，若输出结果为3，新|课 | 标|第 | 一| 网
则可输入的实数值的个数为（ ）
开始
输出y
输入x
否
是
结束
A．1
B．2
C．3
D．4
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）
A．
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
2
2
3
2
3
1
B．
C．
D．
8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，
即，．给出如下四个结论：
① ；
② ； 新 课 标 第 一 网
③ ；
④ 整数属于同一“类”的充要条件是“”．
其中，正确结论的个数为（ ）．
A． B． C． D．
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第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 不等式的解集为 .
10．直线被圆截得的弦长为 ．
11．已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ；
若点，则 的最大值为 .
12． 在等比数列中，，则公比 ； ．
13．在中，若，则 ．
14. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①的定义域是，值域是；http:// www.xkb 1.com
②点是的图像的对称中心，其中；
③函数的最小正周期为；
④ 函数在上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
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三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt中，，．D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．
（Ⅰ）求证： 平面；新-课 -标- 第-一-网
（Ⅱ）求证： 平面；
A
B
C
D
E
图1
图2
A1
B
C
D
E
（Ⅲ） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．
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17．（本小题共13分）
一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是､､､．现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；
（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到
数字的概率．
18．（本小题共13分）
已知函数是常数．新| 课 |标 |第 |一| 网
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；
（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；
（Ⅲ）若函数有零点，求实数的取值范围．
19．（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．
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20．（本小题共13分）
定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的
“保三角形函数”，求的取值范围；新|课 |标 |第 |一| 网
（Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?
(解题中可用以下数据 :)
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石景山区2012—2013学年第一学期期末考试
高三数学（文）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
D
C
C
B
C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
2；6
3
①③
(9题、11题第一空2分,第二空3分)
三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）X k B 1 . c o m
（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为 ……………2分
……………5分
……………7分
（Ⅱ）因为，所以 ……………9分
当时，即时，的最大值为； ……………11分
当时，即时，的最小值为. ………13分
16．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：
…………………………4分
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（Ⅱ）证明： 在△中，
.又.
由新 课 标 第 一 网
. …………………………9分
（Ⅲ）设则
由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形．
………………12分
当时, 的最小值是．
即当为中点时, 的长度最小,最小值为．…………………14分
17．（本小题共13分）
（Ⅰ）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，．
其中数字之和大于的是，，
所以． …………………6分
（Ⅱ）设表示事件“至少一次抽到”，
第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：
，共个基本结果．
事件包含的基本结果有，
共个基本结果．w W w .x K b 1.c o M
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所以所求事件的概率为． …………………13分
18.（本小题共13分）
（Ⅰ） …………………2分
，，所以切线的方程为
，即． …………………4分
（Ⅱ）令则
↗
最大值
↘
，所以且，，，
即函数的图像在直线的下方． …………………9分
（Ⅲ）有零点，即有解， .
令 ，，
解得. …………………11分
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，的最大值为，w W w .x K b 1.c o M
所以. …………………13分
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19．（本小题共14分）
（Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得
故椭圆方程为． …………………4分
（Ⅱ）将代入并整理得，
解得． …………………7分
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．
设，，
则． …………………9分
所以直线的斜率互为相反数． …………………14分
20．（本小题共13分）
（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列．
因为，显然有，
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由得
解得.
所以当时，
是数列的保三角形函数. …………………3分
（Ⅱ）由，得，
两式相减得，所以 …………………5分
经检验，此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列. …………………8分
（Ⅲ）,
所以是单调递减函数.
由题意知，①且②,
由①得，解得,
由②得，解得.
即数列最多有26项. …………………13分
【注：若有其它解法，请酌情给分．】
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