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2012--2013学年度第一学期期末抽测
高二数学试题(理科)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题一第20题，共20题)。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题纸一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷
及答题纸的规定位置。
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位xkb1.com
置作答一律无效。
4．如需作图，须用28铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
球的表面积为，其中表示球的半径．
锥体的体积 ，其中为底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题。每小题5分。共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上
1．命题“R，≥”的否定是 ．
2．直线的倾斜角为 ．
3．抛物线的焦点坐标是 ．
4．双曲线的渐近线方程是 ．
5．已知球的半径为3，则球的表面积为 ．
6．若一个正三棱锥的高为5，底面边长为6，则这个正三棱锥的体积为 ．
7．函数在点(1，)处的切线方程为 ．
8．已知向量 ，，若，则的值等于 .
9．已知圆与圆相内切，则实数的值为 ．
10．已知命题；命题，若是的充分不必要条件，则正实数的最大值为 。
11．已知两条直线和都过点 (2，3)，则过两点
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，的直线的方程为 .
12．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为 ．
13．如图，已知(常数)，以为直径的圆有一内接梯形，且，若椭圆以，为焦点，且过，两点，则当梯形的周长最大时，椭圆的离心率为 ．
14．设函数， ，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则当 时，实数的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在正方体中，，分别为棱，的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面⊥平面．
16．(本小题满分l4分)
已知圆经过三点，，．
(1)求圆的方程；
(2)求过点且被圆截得弦长为4的直线的方程．
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17．(本小题满分14分)
已知在长方体中，，，，，分别是棱，
上的点，且，，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
（1）异面直线与所成角的余弦值；
（2）直线与平面所成角的正弦值。
18．(本小题满分l6分)
现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．
方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图(2)，若从长方形的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼? 。
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19．(本小题满分l6分)
在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为 ，， 左、右顶点分别为，，离心率为，动点到，的距离的平方和为6．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若，，为椭圆上位于轴上方的动点，直线，
分别交直线于点，．
(i)当直线的斜率为时，求 的面积；
(ii)求证：对任意的动点，为定值．
w w w .x k b 1.c o m
20．(本小题满分l6分)
已知函数，在点 处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)若过点可作出曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围；
(3)若对任意，均存在，使得≤，试求实数的
取值范围．
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2012—2013学年度第一学期期末抽测
高二数学（理）参考答案与评分标准
一、填空题：
1．， 2． 3． 4． 5．
6． 7． 8． 9． 10． 11．
12． 13． 14．
二、解答题：
15．（1）连结，在中，、分别为棱、的中点，故//，
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
（第15题图）
又//，所以//， ……………2分
又平面，平面，
所以直线∥平面． ………………6分
（2）在正方体中，底面
是正方形，则，………………8分
又平面，平面，新 课 标 第 一 网
则， ……10分
又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面． ………14分
16．（1）设圆的方程为，则…3分
解得，，， …………………………………6分
所以圆的方程为． ………………………………7分
（2）①若直线斜率不存在，直线方程为，经检验符合题意； ……………9分
②若直线斜率存在，设直线斜率为，则直线方程，
即，则，解得， ………………………12分
所以直线方程为．新 课 标 第 一 网
综上可知，直线方程为和． …………………………14分
17．由题意知，，，，，，
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（1），，
， ………………5分
可得异面直线与所成角的余弦值为． …………………7分
（2），，设平面的法向量为，
则，即，解得，
不妨取，则，，故平面的一个法向量为，10分
则，………………12分
根据图形可知，直线与平面所成角的正弦值为． ……………14分
18．方案一：设小正方形的边长为，由题意得，，
所以铁皮盒的体积为． …………………………4分
方案二：设底面正方形的边长为，长方体的高为，X|k | B| 1 . c|O |m
由题意得，即，
所以铁皮盒体积， ……………………10分
，令，解得或（舍），
当时，；当时，，
所以函数在时取得最大值．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可． ……………………………15分
答：方案一铁皮盒的体积为；方案二铁皮盒体积的最大值为，将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．16分
19．（1）设，则，即，
整理得，，
（第19题图）
A
B
C
D
Q
M
N
y
x
O
所以动点的轨迹方程为．…4分xkb1.com
（2）由题意知，，解得，
所以椭圆方程为． ……6分
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则，，设，，则，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
（i）当直线的斜率为时，有，消去并整理得，，解得或（舍）， …………………………10分
所以的面积
． …………………12分（ii），
所以．http://w ww.xkb1.co m
所以对任意的动点，为定值，该定值为． ……………………16分
20．（1），由题意得，切点为，
则，解得． …………………4分
（2）设切点为，则切线斜率为，，
所以切线方程为，
即， ………………6分
又切线过点，代入并整理得，
由题意，方程有两个不同的非零实根， ………………8分
所以，解得，
故实数的取值范围为． ………………10分
（3）由（1）知，，则不等式，
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即，由题意可知，的最小值应小于或等于对任意恒成立， ………………12分
令，则，令，解得，列表如下：
0
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极小值
因此，的最小值为． …………14分
所以对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，则，令，解得，列表如下：
1
2
0
极大值
因此，的最大值为，所以． …………16分
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