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福建师大附中
2012—2013学年度上学期期末考试
高二数学文试题
（满分：150分，时间：120分钟）
一、选择题：（ 每小题5分，共60分；四个选项中，只有一项符合题目要求 ）
1．已知命题 ，，则（***）
A.， B.，
C.， Ｄ. ，
2.某物体的位移（米）与时间（秒）的关系是,则物体在秒时的瞬时速度为（***）
A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s
3．已知定点A、B，且，动点P满足，则点的轨迹为（***）
A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线
4．抛物线 的准线方程是（***）新|课 |标|第 |一| 网
A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 0
5．若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，若，则有实根，则（***）
A.为真 B.为真 C.为真 Ｄ.为假
6. 某公司的产品销售量按函数规律变化，在时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可能是（***）
a
b
a
b
a
o
t
o
t
y
b
a
o
t
y
o
t
y
b
y
A. B. C. D.
7. 设 “”, “直线与抛物线只有一个公共点”，
则是（***）条件
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A. 充分且非必要 B. 必要且非充分 C. 充分且必要 D. 既非充分也非必要
8.曲线在点处的切线方程为（***）
A. B. C. D.
9．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能是（***）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线
10.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（***）
A. B. C. D.
11.已知数列满足记，如果对任意的正整数，都有，则实数的最大值为（***）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是（***）
A． B． C． D． X k B 1 . c o m
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．已知数列的前项和，则 ******
14．点在双曲线上运动，为坐标原点，线段中点的轨迹方程是 *****
15．设是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，满足，的面积为，则 *****
16．已知点满足椭圆方程，则 的最大值为*****
三、解答题：（本大题共6题，满分74分）
17. （本题满分12分）
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在中，内角所对的边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求的值.
18. （本题满分12分）
已知为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若成等比数列，求正整数的值.
19．（本题满分12分）
已知椭圆C：的上顶点坐标为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的右焦点，求的取值范围.
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20．（本小题满分12分）
已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，点为坐标原点.
X
O
B
Y
A
F
（Ⅰ）证明：为钝角.
（Ⅱ）若的面积为，求直线的方程;
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A
B
C
D
O
F
E
21.如图，有一边长为2米的正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．
（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线的方程;
（Ⅱ）如何画出切割路径，使得剩余部分即直角梯形的面积最大？
并求其最大值．
新课 标第 一 网
22. 如图，设、分别是圆和椭圆的弦，且弦的端点在轴的异侧，端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.
（Ⅰ）若弦所在直线斜率为，且弦的中点的横坐标为，求直线的方程；
（Ⅱ）若弦过定点，试探究弦是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.
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X k B 1 . c o m
参考答案
1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7. A 8.B 9.D 10.D 11.A 12.C
13.; 14.; 15. ; 16.
17.解： (I)由及正弦定理，得，
所以，,
(Ⅱ)由及，得，由及余弦定理，得, 所以，
18.解：(I)设数列的公差为,解得，
所以
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（Ⅱ）由(1)可得新- 课-标-第 -一-网
因，，成等比数列，所以，从而，即，
解得或（舍去），因此
19.解：（I）依题意得：，椭圆方程为
（Ⅱ）设，，则---（*）
点满足，代入（*）式，得：
根据二次函数的单调性可得：的取值范围为
20.解：(I)依题意设直线的方程为：（必存在）新|课 |标|第 |一| 网
，设直线与抛物线的交点坐标为，则有，依向量的数量积定义，即证为钝角
(Ⅱ) 由（I）可知: ,,
,, 直线方程为
21. 解：(I)以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧的方程为
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∵点的坐标为， ∴，
故边缘线的方程为.
(Ⅱ)要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为， ∵，
∴直线的的方程可表示为，即 ， A
B
C
D
O
F
E
x
y
P
由此可求得，.
， ，
设梯形的面积为，则w W w .x K b 1.c o M
. ∴当时，
故的最大值为. 此时.
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.
22． 解：（Ⅰ）由题意得：直线的方程为
，，设
，将代入检验符合题意，
故满足题意的直线方程为：
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆的方程为：分
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设、、、，
∵点在圆上， ∴，………①
∵点在椭圆上， ∴，………②
联立方程①②解得：，同理解得：
∴、 ∵弦过定点，http://www.xkb1.com
∴且，即，
化简得
直线的方程为：，即，
由得直线的方程为：，
∴弦必过定点.
解法二：由（Ⅰ）得：圆的方程为：
设、，
∵圆上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍可得到椭圆，
又端点与、与的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，
∴、
由弦过定点，猜想弦过定点.
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∵弦过定点，∴且，即……① ,, X |k |B| 1 . c| O |m
由①得，
∴弦必过定点.
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