【浙教版】2017年秋八年级上《2.4等腰三角形的判定定理》基础训练(含答案).doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2.4 等腰三角形的判定定理 ‎1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是BD＝CD(答案不唯一)．‎ ‎,(第1题))　　,(第2题))‎ ‎2．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝__5__时，△AOP为等边三角形．‎ ‎ (第3题)‎ ‎3．如图，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，有下列结论：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③△ABD是等腰三角形；④△BCD是等腰三角形．其中正确的结论有(D)‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎4．下列说法中，错误的是(B)‎ A．有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形 B．有两个内角相等的三角形是等边三角形 C．一个外角平分线平行于一边的三角形是等腰三角形 D．等边三角形一定是等腰三角形 ‎(第5题)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为(C)‎ A. 9　　　 　　　　B. 11‎ C. 12　　 　　　　D. 13‎ ‎(第6题)‎ ‎6．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.求证：△BED是等腰三角形．‎ ‎【解】　∵BD是△ABC的角平分线，‎ ‎∴∠EBD＝∠DBC.‎ ‎∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.‎ ‎∴∠EBD＝∠EDB，∴△BED是等腰三角形．‎ ‎(第7题)‎ ‎7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC，BE平分∠ABC.求证： △AEF是等腰三角形．‎ ‎【解】　∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE.‎ ‎∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.‎ ‎∵∠ADB＋∠CBE＋∠BFD＝180°，‎ ‎∠BAC＋∠ABE＋∠BEA＝180°，‎ ‎∴∠BFD＝∠BEA.‎ ‎∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BEA＝∠AFE.‎ ‎∴△AEF是等腰三角形．‎ ‎8．如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC, 则BC＝CD，请说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(第8题)‎ ‎　　　(第8题解)‎ ‎【解】　如解图，连结BD.‎ ‎∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.‎ ‎∵∠ABC＝∠ADC，‎ ‎∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，‎ ‎∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD.‎ ‎(第9题)‎ ‎9．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是(B)‎ A．一般等腰三角形 ‎ B．等边三角形 C．不等边三角形 ‎ D．不能确定形状 ‎【解】　∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，∠BAC＝60°.‎ 又∵∠1＝∠2，BE＝CD，‎ ‎∴△ABE≌△ACD(SAS)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°.‎ ‎∴△ADE是等边三角形．‎ ‎(第10题)‎ ‎10．如图，过∠AOB的平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，过点E作直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【解】　OD＝DM＋ON.证明如下：‎ ‎∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOC＝∠COB.‎ ‎∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠COB.‎ ‎∴∠DOC＝∠DCO.∴OD＝CD＝DM＋CM.‎ ‎∵E是线段OC的中点，∴CE＝OE.‎ 在△CEM和△OEN中，‎ ‎∵ ‎∴△CEM≌△OEN(ASA)．∴CM＝ON.‎ ‎∴OD＝DM＋ON.‎ ‎11．如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ ‎(1)连结BE，DC，求证：BE＝DC.‎ ‎(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.‎ ‎①当旋转角为__60__度时，边AD′落在AE上．‎ ‎②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′.当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．‎ ‎ (第11题)‎ ‎【解】　(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，‎ 即∠BAE＝∠DAC.‎ 在△BAE和△DAC中，‎ ‎∵ ‎∴△BAE≌△DAC(SAS)．∴BE＝DC.‎ ‎(2)①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠DAE＝180°－60°×2＝60°.‎ ‎∵边AD′落在AE上，‎ ‎∴旋转角＝∠DAE＝60°.‎ ‎②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．‎ 证明如下：‎ 由旋转可知，AB′与AD重合，‎ ‎∴AB＝DB＝DD′＝AD′.‎ 又∵BD′＝BD′，∴△ABD′≌△DBD′(SSS)．‎ ‎∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°.‎ 同理，∠AD′B＝∠DD′B＝30°，∴DP∥BC.‎ ‎∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AC＝AE＝CE，∠ACE＝60°.‎ ‎∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′.‎ ‎∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°.‎ ‎∴∠ABD′＝∠ACD′.∴BD′＝CD′.‎ ‎∵DP∥BC，∴∠PD′C＝∠ACD′＝30°.‎ ‎∴∠DBD′＝∠DD′B＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°.‎ 在△BDD′与△CPD′中，‎ ‎∵ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△BDD′≌△CPD′(ASA)．‎ ‎(第12题)‎ ‎12．如图，△ABC和△ADC都是等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，以相同的速度各自沿BA，AD的方向运动到点A，D停止，连结EC，FC.‎ ‎(1)在点E，F运动的过程中，∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由．‎ ‎(2)在点E，F运动的过程中，以A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由．‎ ‎(3)连结EF，在图中找出所有和∠ACE相等的角，并说明理由．‎ ‎(4)若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去，(1)中的结论还成立吗？直接写出结论，不必说明理由．‎ ‎【解】　(1)没有变化．理由如下：‎ ‎∵点E，F的速度相同，且同时运动，‎ ‎∴BE＝AF.‎ ‎∵△ABC和△ADC都是等边三角形，‎ ‎∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°.‎ 在△BCE和△ACF中，∵ ‎∴△BCE≌△ACF(SAS)．∴∠BCE＝∠ACF.‎ ‎∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°.‎ ‎(2)没有变化．理由如下：‎ 由(1)知，△BCE与△ACF的面积相等，‎ ‎∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC.‎ ‎∴四边形AECF的面积没有变化．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.理由如下：‎ ‎∵△ABC和△ADC都是等边三角形，‎ ‎∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD.‎ ‎∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF.‎ ‎∴△ACE≌△DCF(SAS)．‎ ‎∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC.‎ 又∵∠ECF＝60°，‎ ‎∴△ECF是等边三角形，∴∠EFC＝60°.‎ ‎∴∠AFE＋∠DFC＝120°.‎ ‎∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°.‎ ‎∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.‎ ‎(4)(1)中的结论仍成立．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费