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2.5 逆命题和逆定理
1．下列说法中，正确的是(A)
A. 每一个命题都有逆命题
B. 假命题的逆命题一定是假命题
C. 每一个定理都有逆定理
D. 假命题没有逆命题
2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)
A. 直角都相等
B. 钝角都小于180°
C. 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0
D. 同位角相等
3．下列定理中，有逆定理的是(D)
A. 对顶角相等
B. 同角的余角相等
C. 全等三角形的对应角相等
D. 在一个三角形中，等边对等角
4．下列命题中，其逆命题是假命题的是(B)
A. 等腰三角形的两个底角相等
B. 若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
C. 若ab＝1，则a与b互为倒数
D. 如果|a|＝|b|，那么a2＝b2
5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．
(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0.
【解】 逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0.这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0.
(2)等腰三角形的两个底角相等．
【解】 逆命题：有两角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．
6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．
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(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三边对应相等的两个三角形全等．
【解】 (1)有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”．
(2)有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．”
(第7题)
7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．
已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC.
【解】 连结BC.
∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．
∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．
又∵点E在AD上，∴EB＝EC.
8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．
原命题是假命题.
反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF.
(第8题解)
逆命题是假命题．
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反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．
9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．
【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF.
(第9题解)
求证：△ABC为等腰三角形．
证明：连结AD.
∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABD＝AB·DE，
S△ACD＝AC·DF.
又∵DE＝DF，∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．
【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．
反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，
∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．
故此定理没有逆定理．
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(第10题解)
11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．
【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．
(第11题解)
已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE.
∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA(SAS)．
∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD.
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.
∴∠BAD＝∠BED.∴AB＝BE.∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
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