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2.7 探索勾股定理(一)
1．已知一个直角三角形斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形的面积是__6__．
2．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD＝__8__．
(第2题)
(第3题)
3．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段__8__条．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于__2π__．
(第4题)
(第5题)
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝5，在CD上取一点E，连结BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．
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(第6题)
6．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(C)
A．13 B．26
C．47 D．94
7．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)若a＝5，b＝12，求c.
(2)若b＝0.7，c＝2.5，求a.
(3)若a∶b＝3∶4，c＝25，求b.
【解】 (1)∵∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c2＝a2＋b2＝52＋122＝169.
∵c>0，∴c＝13.
(2)∵∠C＝90°，b＝0.7，c＝2.5，
∴a2＝c2－b2＝2.52－0.72＝5.76.
∵a>0，∴a＝2.4.
(3)∵a∶b＝3∶4，∴设a＝3x，b＝4x.
∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2.
∴(3x)2＋(4x)2＝252，∴x2＝25.
∵x>0，∴x＝5，∴b＝4×5＝20.
(第8题)
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．
【解】 ∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝AB.
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又∵DE＝DF，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD(SSS)．∴∠EAD＝∠FAD.
∴AD⊥BC，且D是BC的中点．
在Rt△ABD中，∵E是斜边AB的中点，
∴DE＝AE.同理，DF＝AF.
∴四边形AEDF的周长是2AB.
∵BC＝6，∴BD＝3.
又∵AD＝2，∴AB＝＝.
∴四边形AEDF的周长是2 .
(第9题)
9．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD，BE.有以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④BE2＝2(AD2＋AB2)．其中正确结论的个数是__3__．
【解】 ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，∵
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，故①正确．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＋∠DBC＝45°，
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∴∠ACE＋∠DBC＝45°，故③正确．
∴∠DBC＋∠DCB＝∠DBC＋∠ACE＋∠ACB＝90°.∴∠BDC＝90°.
∴BD⊥CE，故②正确．
∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2＋DE2.
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AE＝AD，即DE2＝2AD2.
∴BE2＝BD2＋DE2＝BD2＋2AD2.
而BD2≠2AB2，故④错误．
10．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC 边上的高为12 cm，求△ABC 的面积．
【解】 当∠B 为锐角时(如解图①),
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5(cm).
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16(cm).
∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm).
∴S△ABC＝BC·AD＝×21×12＝126(cm2).
(第10题解)
当∠B 为钝角时(如解图②),
同理，BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．
∴S△ABC＝BC·AD＝×11×12＝66(cm2)．
∴△ABC 的面积为126 cm2或66 cm2 .
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(第11题)
11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．
(1)求证：AP2＋PB·PC＝16.
(2)若BC边上有100个不同的点(不与点B，C重合)P1，P2，…，P100，设mi＝APi2＋PiB·PiC(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．
【解】 (1)过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2.
∵AP2－PD2＝AD2，
∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16.
(2)由(1)知mi＝APi2＋PiB·PiC＝16，
∴m1＝m2＝…＝m100＝16，
∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600.
12．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，求MP＋PQ＋QN的最小值．
(第12题)
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【解】 如解图，作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连结M1N1分别交OA，OB于点Q，P，此时MP＋PQ＋QN的值最小．
(第12题解)
由对称的性质，知M1P＝MP，N1Q＝NQ，
∴MP＋PQ＋QN＝M1N1.
连结ON1，OM1，
则∠M1OP＝∠POM＝∠N1OM＝30°，
∴∠N1OM1＝90°.
又∵ON1＝ON＝3，OM1＝OM＝1，
∴M1N1＝＝，即MP＋PQ＋QN的最小值为.
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