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第三章 函数自我测试
(时间45分钟 满分120分)
一、选择题(每小题3分，共21分)
1．若点A(a＋1，b－1)在第二象限，则点B(－a，b＋2)在( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2017·泰安)已知一次函数y＝kx－m－2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是( A )
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0
C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
3．(2017·贵阳)若直线y＝－x＋a与直线y＝x＋b的交点坐标为(2，8)，则a－b的值为( B )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．(2017·绵阳)将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是( D )
A．b＞8 B．b＞－8
C．b≥8 D．b≥－8
5．(2017·荆门)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝(k>0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )
A. B.
C. D.
第5题图
第6题图
6．(2017·遵义)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正确的结论是( D )
A．①③ B．②③
C．②④ D．②③④
7.
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如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD－DC－CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( B )
二、填空题(每小题3分，共24分)
8．(2017·安顺)在函数y＝中，自变量x的取值范围是_x≥1且x≠2_.
9．(2018·原创)在平面直角坐标系中，点P(2t＋8，5－t)在y轴上，则与点P关于x轴对称的点的坐标是_(0，－9)_．
10．(2017·淮安)若反比例函数y＝－的图象经过点A(m，3)，则m的值是_－2_.
11．(2017·西宁)若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为_y＝x或y＝－x_.
12．一辆货车从A地开往B地，一辆小汽车从B地开往A地．同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为s(千米)，货车行驶的时间为t(小时)，s与t之间的函数关系如图所示．
对于下列说法：①A、B两地相距60千米；②出发1小时，货车与小汽车相遇；③小汽车的速度是货车速度的2倍；④出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了60千米．
其中正确的有_3_个．(导学号 58824145)
13．(2018·原创)将二次函数y＝(x－2)2＋3的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为_y＝(x－5)2＋1_.
14．(2017·眉山)设点(－1，m)和点(，n)是直线y＝(k2－1)x＋b(0＜k＜1)上的两个点，则m、n的大小关系为_m>n_.(导学号 58824146)
15．(2017·齐齐哈尔)如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，
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tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_－24_.
三、解答题(本大题6小题，共75分)
16．(12分)(2017·广安)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.
(1)求函数y＝和y＝kx＋b的解析式；
(2)已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.
解：(1)把点A(4，2)代入反比例函数y＝，可得m＝8，∴反比例函数解析式为y＝，
∵OB＝6，∴B(0，－6)，
把点A(4，2)，B(0，－6)代入一次函数y＝kx＋b，可得解得
∴一次函数解析式为y＝2x－6；
(2)在y＝2x－6中，令y＝0，则x＝3，
即C(3，0)，∴CO＝3，
设P(a，)，由S△POC＝9，可得×3×＝9，解得a＝，∴P(，6)．
17．(12分)(2016·山西)我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000 kg－5000 kg(含2000 kg和5000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：
方案A：每千克5.8元，由基地免费送货；
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
(1)请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；
(2)求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
(3)某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
解：(1)方案A：函数表达式为y＝5.8x；
方案B：函数表达式为y＝5x＋2000；
(2)由题意得：5.8x＜5x＋2000，
解得：x＜2500，
则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；
(3)他应选择方案B，理由为：
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方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448(kg)；
方案B：苹果数量为(20000－2000)÷5＝3600(kg)，
∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．
18．(12分)(2017·营口模拟)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：y＝
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？
(2)如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)
(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价多少元？
解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，
由题意可知：30n＋120＝420，解得n＝10.
答：第10天生产的粽子数量为420只；
(2)由图象得，当0≤x≤9时，p＝4.1；
当9＜x≤15时，设p＝kx＋b，
把点(9，4.1)，(15，4.7)代入得：
解得
∴9x≤15时，p＝0.1x＋3.2，
①0≤x≤5时，w＝(6－4.1)×54x＝102.6x，当x＝5时，w最大＝513(元)；
②5＜x≤9时，w＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x＋228，
∵x是整数，∴当x＝9时，w最大＝741(元)；
③9＜x≤15时，w＝(6－0.1x－3.2)×(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336，
∵a＝－3＜0，
∴当x＝－＝12时，w最大＝768(元)；
综上，当x＝12时，w有最大值，最大值为768元；
(3)由(2)可知m＝12，m＋1＝13，
设第13天提价a元，由题意得，w13＝(6＋a－p)(30x＋120)＝(6＋a－0.1×13＋3.2)(30×13＋120)＝510(a＋1.5)，
∴510(a＋1.5)－768≥48，解得a≥0.1.
答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．
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19．(13分)(2017·齐齐哈尔)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点C和点D的坐标；
(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．
注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的顶点坐标为(－，)
解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4)；
(3)设P(x，y)(x＞0，y＞0)，
S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4y＝2y，
∵S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×，∴y＝3，∴－x2＋2x＋3＝3，解得：x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2，
∴P(2，3)．
20．(13分)(2017·本溪模拟)经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
时间x(天)
1≤x0)与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
(3)如图②，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的表达式为y＝2x2－3x；
(2)如解图，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴设C(t，2t2－3t)，则E(t，0)，D(t，t)，
∴OE＝t，BF＝2－t，CD＝t－(2t2－3t)＝－2t2＋4t，
∴S△OBC＝S△CDO＋S△CDB＝CD·OE＋CD·BF＝(－2t2＋4t)(t＋2－t)＝－2t2＋4t，
∵△OBC的面积为2，
∴－2t2＋4t＝2，解得t1＝t2＝1，
∴C(1，－1)；
(3)存在．
满足条件的点P，其坐标为(，)或(－，－)．
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