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东北育才学校2012-2013学年度上学期期末考试
高三年级数学试题（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设全集，集合,则 （ ）
A．{2,4} B．{2,4，6} C．{0，2,4} D．{0，2,4，6}
2．若复数是纯虚数，则实数 （ ）
A．±1 B． C．0 D．1
3．已知为等比数列，若，则（ ）
开始
输入非零正整数A,B
B≠0
N
输出A
Y
C=A除以B的余数
结束
A=B,B=C
A．10 B．20 C．60 D．100
4．设点是线段BC的中点，点A在直线BC外，,
,则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6．给出命题p：直线
互相平行的充要条件是；
命题q：若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥。
对以上两个命题，下列结论中正确的是 （ ）
A．命题“p且q”为真 B．命题“p或q”为假
C．命题“p且┓q”为假 D．命题“p且┓q”为真
7．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
8．设是双曲线的焦点，P是双曲线上的一点，且3||=4||，△的面积等于 （ ）
A． B． C．24 D．48
9．设偶函数的
部分图像如图所示，为等腰直角三角形，
∠=90°，||=1，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
10．已知集合A=，若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
11．设等差数列{}的前项和为，已知，
，则下列结论中正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
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12．函数有且只有两个不同的零点，则b的值为 （ ）
A． B． C． D．不确定
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知函数，其中实数随机选自区间[-2,1]，则对，都有恒成立的概率是 。
14．若某几何体的三视图（单位：㎝）如图所示，
则此几何体的体积等于 ㎝³。
15．设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的
直线与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，
则||+||= 。
16．设函数的定义域为D，如果存在正实数k，
使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f(x+k)>f(x)恒成立，
则称函数f (x)为D上的“k型增函数”．
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2013型增函数”，则实数a的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
设函数f(x)=cos 2 cos2 x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f(B+C)=，b+c=2，求a的最小值。
18．（本小题满分12分）
男
女
9
9 8
8 6 5 0
7 4 2 1
1
15
16
17
18
19
7 7 8 9 9
1 2 4 5 8 9
2 3 4 5 6
0 1
第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：㎝），若身高在175㎝以上（包括175㎝）定义为“高个子”，身高在175㎝以下（不包括175㎝）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率？
（II）若从身高180㎝以上（包括180㎝）的志愿者中选出男女各一人，求这两人身高相差5㎝以上的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD =4，AB=2CD=8．
（Ⅰ）设是PC上的一点，证明：平面⊥平面；
（Ⅱ）当点位于线段PC什么位置时，PA∥平面？
（Ⅲ）求四棱锥P－ABCD的体积．
20．（本小题满分12分）
函数．
（Ⅰ）当x>0时，求证：；
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（II）在区间（1，e）上恒成立，求实数的范围
21．（本小题满分12分）
已知点(－2,0),(2,0)，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线斜率为，直线斜率为，且=。
（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹方程；
（ II）已知，设直线：与（I）中的轨迹交于、两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．略
23．（本小题满分10分）选修4－4坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）试分别将曲线Cl的极坐标方程和曲线C2的参数方程（t为参数）化为直角坐标方程和普通方程：
（II）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线Cl和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）．
24．略
2012—2013学年度上学期期末考试 高三年级文科数学答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.C 11.A 12.C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 8 16.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（Ⅰ）的最大值为. ………3分
取最大值时，故的集合为
……5分
,
在中，由余弦定理，
由知，即，当时取最小值 ……12分
18.解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．………3分
高个子用A和B表示，非高个子用a,b,c表示，则抽出两人的情况有：
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（A,B）,(A,a),(A,b),(A,c), (B,a),(B,b),(B,c), (a,b),(a,c), (b,c),共10种，
至少有一名“高个子”被选中有（A,B）,(A,a),(A,b),(A,c), (B,a),(B,b),(B,c),共7种，用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”， 则
因此，至少有一人是“高个子”的概率是． …………7分
（Ⅱ）抽出的两人身高用（男身高，女身高）表示，则有（181，180），（181，181），（182，180），（182，181），（184，180），（184，181），（187，180），(187，181)，（191，180），（191，181），共10种情况，身高相差5cm以上的：（187，180），(187，181)，（191，180），（191，181）共4种，用事件表示“身高相差5cm以上”，则 ……………12分
19. 证明：（Ⅰ）在中，
∵，，，∴．∴． …………………2分
又 ∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．
又平面，∴平面平面． ………………….4分
（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面．
证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．
∵，所以四边形是梯形．
∵，∴．
又 ∵，∴，∴MN，
∵平面，∴平面， ……………………8分
（Ⅲ）过作交于，
∵平面平面，∴平面．
即为四棱锥的高． ……………………………10分
又 ∵是边长为4的等边三角形，∴.
在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．
∴梯形的面积．
故． ……………………………12分
20.（Ⅰ）证明:设 则,则, …………….2分
在处取到最小值,则,即原结论成立. ………5分
（Ⅱ）解：由得即,
另, ……………..7分
另,则单调递增所以 ………..10分
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因为,所以,即单调递增,则的最大值为 ，
所以的取值范围为. ………12分
21.解：（Ⅰ）设点M（x,y）, 则
由 整理得 ………3分
∵由题意点M不与重合 ∴点不在轨迹上
∴点M的轨迹方程为（） ………4分
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在且不为零，
联立方程，消，得设，则
， …………7分
且
由已知，得，
化简，得 代入，得
∴ 整理得． …………10 分
∴直线的方程为y=k（x-4），
因此直线过定点，该定点的坐标为（4，0）. …………12分
23解：（1）曲线 ┅┅┅┅┅┅┅2分
曲线，即 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（2）因为
所以圆与圆内切
所以红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离为圆的直径. ┅┅┅┅┅┅10分
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