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河南省郑州市2013年高中毕业年级第一次质量预测
文科数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、若集合，，则满足条件的实数的个数有
A．个 B 个 C．个 D 个
2、若复数，则等于
A. B. C. D.
3、设数列{}的前n项和－1，则的值为
A、 B、 C、 D、
4、执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的值为
A． B. C. D.
5、直线与曲线相切于点，则的值等于
A. B． C． D．
6、图中阴影部分的面积是的函数()，则该函数的大致图象是
7、一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形内节圆区域有豆4009颗，则他们所没得圆周率为（保留两位有效数字）
A、3.13 B、3.14 C、3.15 D、3.16
8. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
9、《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）
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是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的1份为
10、过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为
A、4 B、8 C、12 D、16
11.在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则该三棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
12. 设函数，把的图象按向量平移后的图象 恰好为函数的图象，则的最小值为
A. B . C. D.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答，第22 -24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知,且，则=_______
14.满足约束条件的目标函数z＝x＋y的最大值为______.
15. —个几何体的三视图如图所示(单位:)则该几何体 的体积为______.
16 对实数a和b，定义运算
设函数（x－3）（R），若函数y＝f（x）－k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿
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三、解答题：本大题共6小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，
(I)求;
(II)若b＝2，的面积为，试判断△ABC的形状.
18. (本小题满分12分）
某高校组织自主招生考试,共有名优秀学生参加笔试，成绩均介于分到 分之间，从中随机抽取名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组:第一组,第二组，…，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在分(含分）以上的同学进入面试.
(I )估计所有参加笔试的名学生中，参加 面试的学生人数；
(II)面试时，每位考生抽取三个问题，若三个问 题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若三个 问题均回答正确且笔试成绩在分以上，则获 类资格;其它情况下获类资格.现已知某中学有三人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为，求恰有一位同学获得该高校B类资格的概率。
19. (本小题满分12分）
如图，是等腰直角三角形， 分别为的中点，沿将折起，得到如图 所示的四棱锥
(I)在棱上找一点，使平面
(II )求四棱锥体积的最大值.
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20.(本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为点在椭圆上，=0，，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点.
(I)求椭圆的方程；
(II)线段上是否存在点,使得若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
21. (本小题满分12分）
已知函数的导函数是，函数
（I）当a＝1，－1＜x＜1时，求函数f（x）的最大值；
(II)求函数的单调区间。
22. (本小题满分10分)选修4—1 ：几何证明选讲
如图:是的直径，是延长线上的一点，是的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线 于点，过点作的切线，切点为
求证：（I)四点共圆；
(II)若,求的长.
23.(本小题满分10分）选修4一4:坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直 线的方程为
(I)求曲线在极坐标系中的方程；
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(II)求直线被曲线截得的弦长.
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)当时，求的解集；
(II)当时，恒成立，求实数的取值范围.
河南郑州2013年高中毕业年级第一次质量预测
文科数学 参考答案
一、 选择题
CCADC BAAAD DB
二、 填空题
13.； 14.； 15.； 16、
三、解答题
17．解：⑴由正弦定理得，――――2分
在中，
，又，
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，注意到．―――――6分
⑵，――――8分
由余弦定理得，
，
，――――10分
又，所以，
故是等边三角形． ――――12分
18．解：⑴设第组的频率为，
则由频率分布直方图知
所以成绩在260分以上的同学的概率，
故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人． ――――－6分
⑵不妨设两位同学为，且的成绩在270分以上，
则对于，答题的可能有，对于，答题的可能有，
其中角标中的1表示正确，0表示错误，如表示同学第一题正确，第二题错误，
将两位同学的答题情况列表如下：
AB
BB
BB
CB
AB
BB
BB
CB
AB
BB
BB
CB
AC
BC
BC
CC
表中AB表示获类资格，获类资格；BC表示获类资格，
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没有获得资格．所以恰有一位同学获该高校类资格的概率为．――――12分
19．解：⑴为棱的中点．证明如下：
取的中点，连结，则由中位线定理得
，且
所以，从而四边形是平行四边形，
又平面，平面，
故为棱的中点时，．――――6分
⑵在平面内作于点，
，
又底面，即就是四棱锥的高．
由知，点和重合时， 四棱锥的体积取最大值．――――10分
此时
故四棱锥体积的最大值为―――――12分
20．解： ⑴由题意，
注意到，所以，
所以，
即所求椭圆方程为．――――4分
⑵存在这样的点符合题意．――――－5分
设线段的中点为，，直线的斜率为，
注意到，则直线的方程为，
由消得：，
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所以，故，
又点在直线上，所以，―――――8分
由可得，
即，所以，――――10分
整理得，
所以在线段上存在点符合题意，其中．――――12分
21．解：⑴当时，，，―――1分
当时，，当时，，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，―――3分
即，所以当且仅当时，函数的最大值为．――－5分
⑵由题意，函数的定义域为，，―――6分
当时，注意到，所以，
即函数的增区间为，无减区间； ―――8分
当时，，
由，得，
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此方程的两根，
其中，注意到，
所以，
，
即函数的增区间为，减区间为，――－11分
综上，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为，
其中．―－12分
22． 证明：⑴连接，
是⊙的直径，
，
，
又
四点共圆．――――5分
⑵
又因为，所以． ―――10分
23．解：⑴曲线的普通方程为，
即，化为极坐标方程是．――――5分
⑵直线的直角坐标方程为，
由得直线与曲线C的交点坐标为，
所以弦长．――――10分
24．解：⑴原不等式可化为，
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依题意，当时，则无解，
当时，则所以，
当时，则所以，
综上所述:原不等式的解集为． ――――5分
⑵原不等式可化为，
因为，所以，
即，
故对恒成立，
当时，的最大值，的最小值为2，
所以为的取值范围为1．――――10分
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