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第14讲 三角形及其性质
(时间40分钟 满分80分)
A卷
一、选择题(每小题3分,共21分)
1.(2017·金华)下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是( C )
A.2,3,4 B.5,7,7
C.5,6,12 D.6,8,10
2.(2017·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是( B )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
3.(2017·滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( B )
A.40° B.36° C.30° D.25°
第3题图
第4题图
4.(2017·毕节)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中点,F为CD上一点,且CF=CD,过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E,则BE的长为( A )
A. 6 B. 4 C. 7 D. 12
5.(2017·大庆)如图,△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形,△BCD中,∠DBC=90°,∠BCD=60°,DC中点为E,AD与BE的延长线交于点F,则∠AFB的度数为( B )
A.30° B.15° C.45° D.25°
(导学号 58824150)
第5题图
第6题图
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6.(2017·陕西)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为( A )
A.3 B.6 C.3 D.
7.(2016·内江)已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点,则点P到三边的距离之和为( B )
A. B. C. D.不能确定
二、填空题(每小题3分,共21分)
8.(2017·成都)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为_40°_.
9.(2017·青岛)
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE、ED、BD.若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为_32_度.
10.(2017·宁夏)在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=DM.当AM⊥BM时,则BC的长为_8_.(导学号 58824151)
第10题图
第11题图
11.(2017·铁岭模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AD=18,点E在AC上且CE=AC,连接BE,与AD相交于点F.若BE=15,则△DBF的周长是_24_.
12.(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=_2_.
13.在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且CD与BE相交于点F,已知△
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BDF的面积为6,△BCF的面积为9,△CEF的面积为6,则四边形ADFE的面积为_24_.
第13题图
第14题图
14.(2017·七台河)如图,在△ABC中,AB=BC=8,AO=BO,点M是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△ABM为直角三角形时,AM的长为_4或4或4_.
三、解答题(本大题2小题,共20分)
15. (10分)如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.
(1)证明:∵G是CE的中点,DG⊥CE,∴DG是CE的垂直平分线,∴DE=DC,
∵AD是高,CE是中线,
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线,
∴DE=BE=AB,
∴DC=BE;
(2)解:∵DE=DC,
∴∠DEC=∠BCE,
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,
∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,
∴∠B=2∠BCE,
∴∠AEC=3∠BCE=66°,
∴∠BCE=22°.
16.(10分)(2017·绍兴)已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=_20_°,β=_10_°;
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②求α,β之间的关系式;
(2)是否存在不同于以上②中的α,β之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可);若不存在,说明理由.
解:(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°,∴∠BAC=60°,
∵AD=AE,∠ADE=70°,
∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°,
∴α=∠BAD=60°-40°=20°,
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,
∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°;
图①
图②
②设∠ABC=x,∠AED=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在△DEC中,y=β+x,
在△ABD中,α+x=y+β=β+x+β,
∴α=2β;
(2)①当点E在CA的延长线上,点D在线段BC上,
如解图①,设∠ABC=x,∠ADE=y,
∴∠ACB=x,∠AED=y,
在△ABD中,x+α=β-y,
在△DEC中,x+y+β=180°,∴α=2β-180°,
②当点E在CA的延长线上,点D在CB的延长线上,
如解图②,同①的方法可得α=180°-2β.
B卷
1.(3分)(2017·黄石)如图,△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,
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DE=,则∠CDE+∠ACD=( C )
A.60° B.75° C.90° D.105°
第1题图
第2题图
2.(3分)(2017·绵阳)如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为( D )
A. B. C. D.
3.(3分)(2017·鄂州)如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,则△ABE的面积为( D )
A. B. C. D.
第3题图
第4题图
4.(3分)(2017·营口模拟)如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠EFC=_45_°.
(导学号 58824152)
5.(3分)(2017·泸州)在△ABC中,已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线,且BD⊥CE,垂足为O.若OD=2 cm,OE=4 cm,则线段AO的长度为_4_.
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6.(3分)如图,线段AB=2,C是AB上一动点,以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF,连接EF,点P为EF的中点.当点C从A运动到B时,P点运动路径长为_1_.
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