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选择题
1. （2001年福建福州4分）二次函数的图象如图所示，下列结论：
（1） （2） （3） （4）
其中正确的有【 】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】（1）∵图象与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，正确。
（2）∵对称轴，开口向下，∴a＜0，故b＞0，正确。
（3）当x=2时，y＜0，即4a＋2b＋c＞0，错误。
（4）可化为（a－b＋c）（a＋b＋c）＜0，
∵当x=1时，a＋b＋c＞0，当x=－1时，a－b＋c＜0，故正确。
故选C。
2. （2002年福建福州4分）如果反比例函数的图象经过点（－2，－1），那么k的值为【 】
（A） （B）－ （C）2 （D）－2
【答案】C。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
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【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（－2，－1）代入，得，解得k=2。故选C。
3. （2002年福建福州4分）已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（，），AB＝︱x1－x2︱，若S△APB＝1，则b与c的关系式是【 】
（A）b2－4c＋1＝0 （B）b2－4c－1＝0
（C）b2－4c＋4＝0 （D）b2－4c－4＝0
4. （2003年福建福州4分）反比例函数的图象大致是【 】
（A） （B） （C） （D）
【答案】A。
【考点】反比例函数的图象。
【分析】根据反比例函数的图象性质并结合其比例系数k解答即可：
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∵在反比例函数中，－4＜0，∴图象在二四象限。故选A。
5. （2004年福建福州4分）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则【 】
A、y随x的增大而减小 B、y随x的增大而增大
C、当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
D、无论x如何变化，y不变
6. （2005年福建福州课标卷3分）反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（2，5），若点（1，n）在反比例函数的图象上，则n等于【 】
A、10 B、5 C、2 D、
【答案】A。
【考点】曲线图上点的坐标与方程的关系。
【分析】由题意得：k=xy，横纵坐标相乘得比例系数，
∵经过点（2，5），点（1，n），∴2×5=1×n，则n=10。故选A。
7. （2006年福建福州大纲卷3分）如图是反比例函数图象的一支，则k的取值范围是【 】
A．k＞1 B．k＜1 C．k＜0 D.k＞0
【答案】C。
【考点】反比例函数的性质。
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【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限。因此，
∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0。故选C。
8. （2006年福建福州课标卷3分）反比例函数图象经过点（2，3），则n的值是【 】
A．－2 B．－1 C．0 D．1
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10. （2007年福建福州3分）如图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，，下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
提示：抛物线的对称轴是，顶点坐标是
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∵a＜0，∴4ac－b2＜8a，即b2＋8a＞4ac。故④正确。
综上所述，正确的有4个。故选D。
11. （2008年福建福州4分）一次函数的图象大致是【 】
A． B． C． D．
12. （2008年福建福州4分）已知抛物线与x轴的一个交点为（m，0），则代数式的值为【 】
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
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【答案】D。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值，整体思想的应用。
【分析】∵抛物线与x轴的一个交点为（m，0），∴，即。
∴。故选D。
13. （2010年福建福州4分）已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（1，3），则此反比例函数的图象在【 】
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
14. （2010年福建福州4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是【 】
A．a＞0 B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0
【答案】D。
【考点】二次函数的性质和图象与系数的关系。
【分析】A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；
B、由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，故选项错误；
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C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故选项错误；
D、把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为正，正确。
故选D。
15. （2011年福建福州4分）如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是【 】
A、 B、 C、 D、
16. （2012年福建福州4分）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B
两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是【 】
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。
【分析】∵ 点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，
∴ 当x＝1时，y＝－1＋6＝5；当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4。
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∴ 点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)。
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小。
设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，
则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9。
∵ 1≤x≤4，∴ 当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)。
因此，k的取值范围是2≤k≤9。故选A。
二、填空题
1. （2001年福建福州3分）对于函数，随的增大而 ▲ 。
3. （2004年福建福州3分）如果反比例函数图象过点A（1，2），那么这个反比例函数的图象在 ▲ 象限．
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【答案】一、三。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。
三、解答题
1. （2001年福建福州12分）如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。
（1）求B点坐标和k的值；
（2）当时，求点P的坐标；
（3）写出S关于m的函数关系式。
【答案】解：（1）依题意，设B点坐标，
∵，∴，即B（3，3）。
∵点B在函数的图象上，∴。
（2）如图（1），若点P在点B上方，设PE与CB相交于点H。
∵在上，
∴。
∵矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积，
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∴，即。
解得。
∴点P的坐标为。
如图（2），若点P在点B下方，根据反比例函数的对称性，
知此时点P的坐标为。
综上所述，点P的坐标为或。
（3）如图（1），若点P在点B上方，此时，由（2）知。
如图（2），若点P在点B下方，此时，
此时，。
综上所述，S关于m的函数关系式为。
2. （2002年福建福州10分）已知：二次函数y＝x2＋bx＋c（b、c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过A（－2，－3）和B（2，5）两点，求此二次函数的解析式；
（2）若（1）中的二次函数的图象过点P（m＋1，n2＋4n），且m≠n，求m＋n的值．
【答案】解：（1）把A（－2，－3）和B（2，5）两点代入y＝x2＋bx＋c得
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，解得。
∴所求二次函数的解析式为y=x2＋2x－3。
（2）∵二次函数图象过点P（m＋1，n2＋4n），
3. （2003年福建福州12分） 已知：如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C。直线= m（m >1）与 轴交于点D.
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）在直线= m（m > 1）上有一点P (点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、
O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由。
【答案】解：（1）在中令y=0，得2x2－2=0，解得，x=1。
∴点A为（－1，0），点B为（1，0）。
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在中令x=0，得y=－2，∴点C为（0，－2）。
（2）①当△PDB∽△COB时，有。
∵BD=m－1，OC=2，OB=1，∴。∴PD=2m－2。
【考点】
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二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的性质，平行四边形的判定，分类思想的应用。
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，分别令y=0和x=0，即可求出A、B、C三点的坐标。
（2）分△PDB∽△COB和△PDB∽△BOC两种情况讨论即可。
（3）分点P1为（m，2m－2）和点P2为（m，）两种情况讨论即可。
4. （2004年福建福州10分）如图所示，L 1和L 2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（元）与照明时间x（小时）的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．（费用=灯的售价+电费）
（1）根据图象分别求出L 1，L 2的函数关系式；
（2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
（3）小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．
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5. （2004年福建福州13分）如图所示，抛物线的顶点为A，直线l：与y轴的交点为B，其中m＞0．
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标；（用含有m的代数式表示）
（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
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【答案】解：（1）对称轴为直线x=m，顶点A（m，0）。
（2）把x=m代入函数，得=0，
∴点A（m，0）在直线l上。
当x=0时，y=﹣m，∴B（0，m），tan∠OAB=。∴∠OAB=60°。
（3）①当∠AQP=90°，∠QAP=60°，AQ=OA=m，PQ=OB=m，
∴P点坐标为（，－m）或（，－m）。
将P点的坐标代入抛物线的解析式可得m=，
∴P点的坐标为（，－）或（，－）。
②当∠AQP=90°，∠QPA=60°，此时有一点P与B重合，
∴P点坐标为（0，m）或（2m，m）。
将P点的坐标代入抛物线解析式得m=，
∴P点的坐标为（0，－3）或（，－3）。
③当∠APQ=90°，∠QAP=60°，PA=m，过P作PC⊥AQ于C，
那么PC=AP•sin60°=m，AC=m，
∴P点的坐标为（）或（）。
将P点的坐标代入抛物线解析式得m=，
∴P点的坐标为（）或（）。
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④当∠APQ=90°，∠AQP=60°，PA=OB=m，过P作PD⊥AQ与D，那么PD=AP•sin30°=m，AD=m，
∴P点的坐标为（）或（）。
将P点的坐标代入抛物线解析式得m=2，
∴P点的坐标为（）或（）。
综上所述，当m=时，P点的坐标为（，－）或（，－）；当m=时，P点的坐标为（0，－3）或（，－3）；当m=时，P点的坐标为（）或（）；
当m=2时，P点的坐标为（）或（）。
6. （2005年福建福州大纲卷12分）百舸竞渡，激情飞扬．端午节期间，某地举行龙舟比赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？
（2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？先到达多少时间？
（3）求乙队加速后，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式．
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7. （2005年福建福州大纲卷13分）已知：抛物线y=x2﹣2x﹣m（m＞0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．
（1）求C点，C′点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C，C′，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长．
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8. （2005年福建福州课标卷13分）已知：抛物线y=x2﹣2x﹣m（m＞0）与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．
（1）求C点，C′点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C，C′，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长．
【答案】解：（1）∵
∴所求对称轴为直线x=1。
在中，令x=0，得y=－m 。∴C（0，－m）
∵C 、C′关于x=1对称，∴C′（2，－m）。
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（2）如图所示，
①当P′Q∥CC′且P′Q=2时，P′横坐标为3，代入二次函数解析式求得P′（3，3﹣m）。
②当P′Q∥CC′且PQ=2时，P横坐标为﹣1，代入二次函数解析式求得P（﹣1，3﹣m）。
③因为CC′⊥Q'P″，当Q′F=P″F，CF=C'F时，P″为二次函数顶点坐标，为（1，﹣1﹣m），
由于P″和Q′关于直线CC′对称，所以Q′纵坐标为2（﹣m）+1+m=﹣m+1，
得Q′（1，1﹣m）。
所以满足条件的P、Q坐标为P（﹣1，3﹣m），Q（1，3﹣m）；P′（3，3﹣m），Q（1，3﹣m）；P″（1，﹣1﹣m），Q′（1，1﹣m）。
（3）①∵Q点纵坐标为3﹣m，C点纵坐标为﹣m，∴CW=3﹣m+m=3，
又∵WQ=1，∴CQ=。
又∵CC′=2，∴平行四边形CC′P′Q周长为（2+）×2=4+2。
②同理，平行四边形CC′QP周长也为4+2。
③∵CF=，FQ=[1－m－（－1－m）]=1，CQ′=。
∴平行四边形CC′P′Q周长为4。
∴所求平行四边形周长为4+2或。
9. （2006年福建福州大纲卷13分）对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2
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，（a1a2 ≠0），
当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线 .现有△ABM, A（－1，0），B（1，0），记过
三点的二次函数抛物线为“C□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）
（1）若已知M（0，1）, △ABM≌△ABN（图1）,请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
（2）在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形.
①若已知M（0，n），求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M（m ，n），当m、n满足什么条件时,存在抛物线CABM？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线.若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）设抛物线CABM的解析式为，
∵抛物线CABM过点A（－1，0），B（1，0），M（0，1），
∴，解得。
∴抛物线CABM的解析式为。
同理可得抛物线CABN的解析式为。
∵|－1|=|1|，∴CABM与CABN是全等抛物线。
（2）①设抛物线CABM的解析式为，
∵抛物线CABM过点A（－1，0），B（1，0），M（0，n），
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10. （2006年福建福州大纲卷13分）对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2，（a1a2 ≠0），
当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线 .现有△ABM, A（－1，0），B（1，0），记过
三点的二次函数抛物线为“C□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）
（1）若已知M（0，1）, △ABM≌△ABN（图1）,请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
（2）在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形.
①若已知M（0，n），求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M（m ，n），当m、n满足什么条件时,存在抛物线CABM？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线.若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由.
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【答案】解：（1）设抛物线CABM的解析式为，
∵抛物线CABM过点A（－1，0），B（1，0），M（0，1），
∴，解得。
∴抛物线CABM的解析式为。
同理可得抛物线CABN的解析式为。
∵|－1|=|1|，∴CABM与CABN是全等抛物线。
（2）①设抛物线CABM的解析式为，
∵抛物线CABM过点A（－1，0），B（1，0），M（0，n），
∴，解得。
∴抛物线CABM的解析式为。
∴与CABM全等的抛物线有：
。
②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线CABM，与CABM全等的抛物线有：CABN，CAME，CBMF。
【考点】新定义，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。
【分析】
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（1）应该是全等抛物线，由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可。
（2）与（1）相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM全等的三角形，那么过与△ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都是与CABM全等的抛物线。
11. （2007年福建福州10分）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员
小俐
小花
月销售件数（件）
200
150
月总收入（元）
1400
1250
假设月销售件数为件，月总收入为元，销售每件奖励元，营业员月基本工资为元．
（1）求，的值；
（2）若营业员小俐某月总收入不低于元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？
12. （2007年福建福州14分）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点O的另一条直线交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
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（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP=OQ，OA=OB。
∴四边形APBQ是平行四边形。∴。
设点P的横坐标为（＞ 0且），则P。
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，∴。
若0＜＜4，如图,
∵，
∴。
∴，解得= 2，= - 8(舍去) 。
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13. （2010年福建福州14分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5．若抛物线过点O、A两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
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又∵AB⊥x轴，由勾股定理得OB=5。
∵SRt△OAB=AE•OB=OA•AB，∴AE=2。∴AC=4。
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，∴∠CAD=∠OBA。
又∵∠CDA=∠OAB=90°，∴△CDA∽△OAB。∴。
∴CD=4，AD=8。∴C（－3，4）。
当x=－3时，。
∴点C在抛物线上。
（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切。
过点P作PF⊥x轴于点F，连接O1P，过点O1作O1H⊥x轴于点H。
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∴CD∥O1H∥BA。∴C（－3，4），B（5，10）。
∵O1是BC的中点，∴由平行线分线段成比例定理得AH=DH=AD=4。
∴OH=OA﹣AH=1。
同理可得O1H=7。∴点O1的坐标为（1，7）。
∵BC⊥OC，∴OC为⊙O1的切线。
又∵OP为⊙O1的切线，∴OC=OP=O1C=O1P=5。
∴四边形OPO1C为正方形。∴∠POF=∠OCD。
又∵∠PFO=∠ODC=90°，∴△POF≌△OCD（AAS）。
∴OF=CD，PF=OD。∴P（4，3）。
设直线O1P的解析式为y=kx+b（k≠0），
把O1（1，7）、P（4，3）分别代入y=kx+b，
得，解得。
∴直线O1P的解析式为。
若以PQ为直径的圆与⊙O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为（m，n），则有。
∴，整理得m2＋3m－50=0，解得m=。
∴点Q的横坐标为或。
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中，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，进而可得到AC的长；过C作
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