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第9课时 一元二次方程及应用
(65分)
一、选择题(每题4分，共24分)
1．[2017·泰安]一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为 ( A )
A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3
C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3
【解析】 根据配方的步骤：第一步移项得x2－6x＝6；第二步配方，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，得x2－6x＋9＝6＋9；第三步整理，得(x－3)2＝15.
2．[2016·丽水]下列一元二次方程没有实数根的是 ( B )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
3．[2017·温州]我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是 ( D )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
【解析】 由题意得2x＋3＝1或－3，解得x1＝－1，x2＝－3.
4．[2017·兰州]如果一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为 ( C )
A．m＞ B．m＞ C．m＝ D．m＝
【解析】 ∵一元二次方程2x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝9－8m＝0，解得m＝.
5．[2017·无锡]某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是 ( C )
A．20% B．25%
C．50% D．62.5%
【解析】 设该店销售额平均每月的增长率是x，根据题意，得2(1＋x)2＝4.5，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(舍去)．∴
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该店销售额平均每月的增长率是50%.
6．[2016·台州]有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是 ( A )
A.x(x－1)＝45 B.x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
二、填空题(每题4分，共16分)
7．[2017·菏泽]关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是__0__．
【解析】 把x＝0代入方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0得k2－k＝0，解得k1＝0，k2＝1，∵方程是一元二次方程，∴k－1≠0，即k≠1，∴k的值是0.
8．[2017·枣庄]已知关于x的一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__a＞－1且a≠0__．
【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根，∴a≠0且Δ＝(－2)2－4a(－1)＞0，解得a＞－1且a≠0.
9．[2017·成都]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x－x＝10，则a＝____．
【解析】 由题意，得x1＋x2＝5，x1x2＝a.∵x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝10，
∴x1－x2＝2.由(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即，52－4a＝4，得a＝.
10．如图9－1，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形空地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草地的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为x m，由题意列得方程__(30－2x)(20－x)＝6×78__.
图9－1
【解析】 设道路的宽为x m，将6块草地平移为一个长方形，长为(30－2x)m，宽为(20－x)m.根据长方形面积公式即可列方程(30－2x)(20－x
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)＝6×78.
三、解答题(共25分)
11．(8分)[2016·兰州]解方程：2y2＋4y＝y＋2.
解：提取公因式，得2y(y＋2)＝y＋2，
移项，合并同类项，得(y＋2)(2y－1)＝0，
则y＋2＝0或2y－1＝0.
解得y1＝－2，y2＝.
12．(8分)[2017·烟台]今年，烟台市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案(如图9－2)：
图9－2
试问去哪个商场购买足球更优惠？
解：(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得200×(1－x)2＝162，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝－1.9(舍去)．
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.
(2)＝9……1，9×10＋1＝91，
在A商场需要的费用为162×91＝14 742(元)，
在B商场需要的费用为162×100×＝14 580(元)．
14 742＞14 580.
答：去B商场购买足球更优惠．
13．(9分)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
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(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；
(2)7×64＝448(人)．
答：如果不及时控制，第三轮将又有448人被传染．
(20分)
14．(5分)[2017·酒泉]若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤5且k≠1__．
【解析】 ∵关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，∴k－1≠0且Δ＝b2－4ac≥0，即42－4×(k－1)×1≥0，解得k≤5且k≠1.故答案为k≤5且k≠1.
15．(5分)[2017·岳阳]在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为__2__．
【解析】 ∵方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－4)2－4b＝16－4b＝0，得AC＝b＝4，又∵BC＝2，AB＝2，∴BC2＋AB2＝AC2，△ABC为直角三角形，AC为斜边，则AC边上中线长为斜边的一半，为2.
16．(10分)[2017·衢州]根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图9－3①所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图②所示．
图9－3
请根据图中信息，解答下列问题：
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(1)求2016年第一产业生产总值；(精确到1亿元)
(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？(精确到1%)
(3)若要使2018年的国民生产总值达到1 573亿元，求2016年至2018年衢州市国民生产总值的平均增长率．(精确到1%)
解：(1)1 300×7.1%≈92(亿元)．
答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元；
(2)(1 300－1 204)÷1 204×100%
＝96÷1 204×100%，≈8%.
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
(3)设2016年至2018年衢州市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1 300(1＋x)2＝1 573，
解得x＝10%或x＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：2016年至2018年衢州市国民生产总值的年平均增长率约为10%.
(15分)
17．(5分)[2016·烟台]若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x－x1＋x2的值为 ( D )
A．－1 B．0 C．2 D．3
【解析】 ∵x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，∴x1＋x2＝2.原式＝x－2x1－1＋x1＋1＋x2＝1＋x1＋x2＝1＋2＝3.
18．(10分)[2017·南充]已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．
解：(1)证明：∵Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)
＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.
∵x＋x－x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7.
∴(m－3)2－3×(－m)＝7.解得m1＝1，m2＝2.
∴m的值为1或2.
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