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单元滚动检测卷(九)
【测试范围：第十二单元及第十三单元 时间：100分钟 分值：100分】
一、选择题(每题5分，共30分)
1．[2017·北京]下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( A )
2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF，连结AD，AE，则下列结论中不成立的是 ( D )
A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEF
C．ED⊥AC D．△ADE为等边三角形
图1 图2
3．如图2，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是 ( D )
A．60° B．90° C．120° D．150°
图3
4．[2017·潍坊]如图3所示的几何体，其俯视图是 ( D )
【解析】 该杯子上口大下底小，且皆为圆形，又带着不透明的盖，故俯视图中下底圆形为虚线．
图4
5．[2017·长沙]某几何体的三视图如图4所示，因此几何体是
( B )
A．长方形
B．圆柱
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C．球
D．正三棱柱
【解析】 从正面看是一个矩形，从左面看是一个矩形，从上面看是圆，这样的几何体是圆柱．
6．如图5是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是 ( D )
图5
A．5个或6个 B．5个或7个
C．4个或5个或6个 D．5个或6个或7个
【解析】 由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，故小立方体的个数可能是5个，6个或7个．
二、填空题(每题5分，共30分)
7．[2017·西宁]圆锥的主视图是边长为4 cm的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是__8π__cm2.
【解析】 根据题意，得圆锥的底面半径为2 cm，母线长为4 cm，则该圆锥侧面展开图的面积是8π cm2.
8．如图6，将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，若∠CAB＝55°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为__25°__．
【解析】 ∵将△ABC沿直线AB向右平移到达△BDE的位置，∴△ACB≌
△BED.∵∠CAB＝55°，∴∠EBD＝55°，则∠CBE＝180°－∠ABC－∠EBD＝180°－100°－55°＝25°.
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图6 图7
9．如图7，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为__4.5__cm.
【解析】 ∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，∴MQ＝2.5 cm，RN＝3 cm，NQ＝MN－MQ＝4－2.5＝1.5(cm)，则线段QR的长为RN＋NQ＝3＋1.5＝4.5(cm)．
10．如图8，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，则点B转过的路径长为__π__．
图8
【解析】 在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴cos∠ABC＝，∴BC＝2cos30°＝2×＝，∵△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C，∴∠BCB′＝60°，∴＝＝π.
11．如图9，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝9，点O在AC上，且AO＝2，P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转90°
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得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长度等于__5__.
图9 第11题答图
【解析】 如答图，过点D作DE⊥AC于点E，
则∠DOE＋∠AOP＝90°，∠DOE＋∠ODE＝90°，∴∠ODE＝∠AOP.∵OD＝OP，∠DEO＝∠A＝90°，∴△DEO≌△OAP(AAS)，∴DE＝OA＝CE＝2，∴AP＝OE＝9－4＝5.
12．如图10，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为____.
图10 第12题答图
【解析】 如答图，作点E关于线段AC的对称点E′，连结E′F，则E′F即为所求，过点F作FG⊥CD于点G.在Rt△E′FG中，GE′＝CD－BE－BF＝4－1－2＝1，GF＝4，∴E′F＝＝＝.
三、解答题(共40分)
13．(8分)在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量小山坡上一颗大树CD的高度，山坡OM与地面ON的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高1.7 m的小明AB在地面的影长BP为1.2 m，此刻大树CD在斜坡上的影长DQ为5 m，求大树的高度．
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图11 第13题答图
解：如答图，过点Q作QE⊥DC于点E，由题意得△ABP∽△CEQ，
则＝，∴＝，
∵EQ∥NO，∴∠1＝∠2＝30°，
∵QD＝5 m，∴DE＝ m，EQ＝ m，∴＝＝，解得EC＝，
∴CE＋DE＝＋＝(m)．
答：大树的高度为 m.
14．(10分)如图12，△ABC和点S都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长为1.
(1)将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形△A1B1C1；
(2)求的长；
(3)求出△ABC旋转到△A1B1C1扫过的面积．
图12
解：(1)∵△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°得到△A1B1C1，
∴AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，SC⊥SC1，SB⊥SB1，SA⊥SA1，画出旋转后的△A1B1C1如答图所示；
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第14题答图
(2)∵BS＝＝，
∴＝＝；
(3)∵AS＝＝，CS＝＝，
∴△ABC扫过的面积＝S△ABC＋S扇形ASA1－S扇形CSC1
＝×3×2＋－＝3＋π.
15．(10分)P是等边三角形ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5.线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连结PQ.
(1)求PQ的长；
(2)求∠APB的度数．
解：(1)∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
第15题答图
∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝AP＝4；
(2)如答图，连结QC.
∵△ABC，△APQ是等边三角形，
∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ＝60°－∠PAC.
在△ABP和△ACQ中，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)．
∴BP＝CQ＝3，∠APB＝∠AQC，
∵在△PQC中，PQ2＋CQ2＝PC2，
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∴△PQC是直角三角形，且∠PQC＝90°，
∵△APQ是等边三角形，∴∠AQP＝60°，
∴∠APB＝∠AQC＝60°＋90°＝150°.
16．(12分)如图13，△ABC是正三角形，且边长为1，E是直线AB上的一个动点，过点E作BC的平行线交直线AC于点F，将线段EC绕点E旋转，使点C落在直线BC上的点D处，当点E在△ABC的边AB上时．
(1)求证：AE＝BD；
(2)设梯形EDCF的面积为S，当S达到最大值时，求∠ECB的正切值．
图13 第16题答图
解：(1)证明：在正三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，
∴△AEF是正三角形，∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF，
∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，
∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
∴∠BED＝∠FCE，∴△EDB≌△CEF，
∴DB＝EF，∴AE＝BD；
(2)如答图，过点E作EH⊥DC于点H，设AE＝x，
则S＝(EF＋DC)·EH
＝(x＋x＋1)·(1－x)
＝－x2＋x＋，当x＝时，S取最大值；
此时，EB＝，则EH＝，BH＝，CH＝，
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tan∠ECB＝＝＝.
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