第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 几何---类比与猜想、想象与操作 姓名： 日期： ‎ 第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（八）‎ ‎【备注】‎ 一、考察的思维品质 ‎ 考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。‎ 二、考察的思维能力 ‎1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。‎ ‎2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。‎ ‎3、面临两个个体，其中一个性质清楚，另一个有待认识，于是对这两个对象进行比较，通过两个个体中若干相同或相似之处，类比猜想这两个人个体在其它方面的相同或相似，实现对另一个对象的合情判断 同步练习 ‎1.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，全程350公里，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？‎ ‎【参考答案】小鸟飞行时间与两辆车的相遇时间相同，即：350÷（15＋20）=10（小时），则小鸟飞行了10×30=300（千米）。‎ ‎2.如果2元钱一瓶汽水，喝完后五个空瓶换一瓶汽水，问：你有40元钱，最多可以喝到几瓶汽水？‎ ‎【参考答案】8元钱可以买4瓶却能喝5瓶，则40÷8=5，5×5=25（瓶）。‎ ‎3. 在一块正方形纸上剪下一个宽为0.5分米的长方形纸条，剩下的面积为平方分米，剪下的长方形纸条的面积是__________平方分米。‎ ‎【参考答案】此题用弦图来解：如图，设原正方形的边长为a,则剪下一个长方形纸条后剩下部分的长为a，宽为（a－0.5），那么，图中存在这样一个关系：（2a－0.5）2＝0.52，则a＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，那么剪下的长方形纸条的面积S＝×0.5＝＝1（dm2）‎ ‎4.一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着1～2013这2013个自然数，从纸箱中任意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？‎ ‎【参考答案】每次操作都不改变纸箱中所有数之和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于1～2013的和除以100的余数。（1＋2＋…+2012＋2013）÷100＝2027091÷100＝20270……91，所以这张卡片上的数是91.‎ ‎5.国庆期间，某酒店在大厦的外墙周围安装了2013个霓虹灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这2013个灯泡按1～2013编号，它们的明暗规则是：第一秒，全部灯泡变明；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由明变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，即暗的变明，明的变暗；……同样，第n秒凡是编号为n的倍数的灯泡改变原来的明暗状态。这样继续下去，到第2013秒时，还有多少个灯泡是明的？‎ ‎【参考答案】某个灯泡，如果它的明暗变化的次数为奇数，那么它是亮的。根据题意可知，号码为N的灯泡，明暗变化的次数等于N的因数的个数，而如果N的因数的个数是奇数，则N一定是平方数。所以第2013秒时，那些编号是平方数的灯泡是亮的。因为12，22，32，…，442＝1936﹤2013﹤452＝2025，所以第2013秒时，还有44个灯泡是明的。‎ ‎6.如图，梯形ABCD的对角线MC、BD相交于点O，已知AB＝10cm，CD＝6cm，梯形ABCD的面积为24cm2，那么三角形BOC的面积是多少？‎ ‎【参考答案】∵AB﹕CD＝OB﹕OD＝10﹕6＝5﹕3，∴S△ABD﹕S△BDC＝S△BOC﹕S△DOC＝5﹕3，∴S△BDC＝24×＝9（cm2）,S△BOC＝9×＝（cm2）。‎ ‎7.从一个长、宽、高恰好是三个连续自然数的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和为72厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？‎ ‎【参考答案】如图，长方体截去一个最大的正方体后，棱长增加2个高，那么根据棱长和公式，4（a＋b＋h）＋2h=72，得2a＋2b＋3h=36，又由于长、宽、高是三个连续自然数的和，解得a=4，b=5，h=6，所以长方体的体积＝4×5×6＝120（立方厘米）。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7.将一块正方形的纸片裁成面积相等的四块，写出八种裁法（用图形表示）。‎ 提示：题目的要求是“裁成面积相等的四块”，因此，所提供的解法必须具有可操作性。‎ ‎【参考答案】‎ ‎8.能否把一个正方形分割成个等腰直角三角形，其中任意两个三角形都不相同？（经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角形）‎ ‎【参考答案】‎ ‎9.已知是等腰三角形, 过的一个顶点的一条直线, 把分成两个小三角形, 如果这两个小三角形也是等腰三角形, 试求出各内角的度数.‎ ‎【参考答案】‎ ‎（1）900,450,450；（2）1080，360，360；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）360，720，720；（4）（25）0，（77）0，（77）0‎ ‎10.如图所示的立体图形由9个棱长为1cm的立方块搭成，请问这个立体图形的表面积为多少？‎ ‎【参考答案】从上、下、左、右、前、后等到的这个立体图形有表面的面积分别为5cm2，5cm2，5cm2，5cm2，6m2，6m2，总和为32cm2.‎ ‎11.剪刀沿图中小方格的边界把4×4正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分，给出五种不同的剪法。‎ ‎【参考答案】‎ ‎12.左图给定的是纸盒外表面，右图中哪一项能由它折叠而成？‎ ‎ ‎ ‎【参考答案】‎ 答案：D，左边的纸盒外表折叠得到左边的图形，A项中右面的两条线相反，A错误；B项右侧错误，C项的斜线方向错误；D项可由上边图象折成。‎ ‎13.左图盒子展开将得到右图选项中那个图形？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【参考答案】‎ 答案：B，给定的图形上、下面的两个阴影三角形的三边是对应平行的。A、B项的图形排列一致，只需将小阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致，分析可知，B项满足，是正确答案；C、D项的图形排列一致，只需将阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致即可。分析可知，都不满足。‎ ‎14.一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的。P为上面ABCD的对角线的交点。用一个平面分别通过P、E、F三点的平面、P、F、G三点的平面、P、H、G三点的平面、P、H、E三点的平面把正方体切开，求最后剩下的立体图形中，包括几个完整的棱长是1厘米的小正方体？‎ ‎【参考答案】在ABCD面中最后只剩下P点，底面EFGH是完好的。连接点P与E、点P与F、点P与G、点P与H的线都是直线，所以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥（如图）。从正侧面看，从下数第一层3×3＝9（个），第二层是3×3＝9（个），第三层是1个，第四层是1个，合计是：9＋9＋1＋1＝20（个）。‎ ‎15.如图，一个正方体是由125块体积相等的黑白相间的小正方体拼成的，那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少？‎ ‎【参考答案】解法一：表面每个面有13个，由六个面有13×6=78（个），又由于棱上有12个都计算过两次，顶点上8个都计算过三次，所这个正方体的表面共有黑色小正方体78－12×1－8×2＝50（个）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解法二：三个面：8个；两个面：1×12=12个；一个面：5×6=30个。共：8+12+30=50（个）。‎ ‎16.马老师让全班49名同学每人手拿一张1～49的不同号码牌，让他们围坐成一个圆圈，使相邻两个同学的号码的乘积小于100，问：这个圆圈最多只能坐多少人？‎ ‎【参考答案】如图：最多只能坐18人。（答案不唯一）‎ ‎17.公园中一块草坪（如图），其中四个角上各有一棵大古树，现在园林处根据安排要求把这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，并使扩大后的草坪为平行四边形，试问这个想法能否实现？若能，请你设计出草图并说明画法。否则说明理由。‎ ‎【参考答案】能，分别过点A、C作BD的平行线，过点B、D作AC的平行线得到一个平行四边形且原草坪的面积扩大一倍。‎ ‎18.一个圆形滚动（如图），它从A位置开始，滚过与它相同的其它六个圆的上部，到达B位置，则该圆滚动了几圈？‎ ‎【参考答案】‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 滚动的圆与从左右到右的圆分别接触的圆弧长为（设一圆的周长为1）：，，，，，，在相邻两个圆之间滚过的弧长为，，，，所以该圆共滚过的圈数为：2×＋4×=1（圈）。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费