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柏树中学2013春季第一学月考试数学试题
(本试卷满分120分，考试时间90分钟)
一、选择题(本大题共l2小题，每小题3分，共36分．)
1．sin60°的相反数是（ C ）。
A．－ B．－ C．－ D．－
2．德阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为（结果保留两位有效数字）（ B ）。
A．3.2×109元； B．3.2×1010元； C．32×109元； D．32×1010元。
3. 若函数中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x ＞3 B．x＞5 C.x≥3 D．x≥－3且x≠5
主视图 左视图 俯视图
4、．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）．
A． B． C． D．
5、如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是弧AMD上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是_______32°___29°____．
6、某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=（A ）
A、 B、2 C、 D、
7、下列事件中，是随机事件的是：（ D ）
A
B
C
D
E
A．度量四边形的内角和为180°；
B．通常加热到100℃，水沸腾；
C．袋中有2个黄球，共五个球，随机摸出一个球是红球；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上。
8、如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE
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∽△ABC；③．④三角形ADE与梯形DECB的面积比为1:4，其中正确的有【 A 】
（A）3个 ,（B）2个 （C）1个 （D）0个
9、对于一组数据0，2，0，2，3，0，2，3，1，2，有下面4种说法：①众数是2、②中位数是2、③平均数是1.5、④方差是1.25．其中正确的说法有（B ）
A．
1个
B．
4个
C．
3个
D．
2个
10、已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（B ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
11、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( B )
A． 130° B． 120° C．110° D．100°
12．y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ B ）。
A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3
二、填空题：
13．如图所示，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，
则应添加的一个条件为 ∠E=∠B 。
14、关于x的一元二次方程－x2＋（2m＋1）x＋1－m2=0无实数根，则m的取值范围是_____m∠-5/4__________。
15、化简： = a-b 。
16、正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 8-2∏
17、如图，在反比例函数（）的图象上，
有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．
分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分
的面积从左到右依次为，则 1.5 ．
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18．观察下面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 15 个图形共有 120个★．
★
★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
三、完成题：
19、计算：=4-5
20、如图，把质地均匀的A、B两个转盘都分成三等分，玲玲和兰兰利用它们做游戏，同时自由转动两个转盘，当两个指针所停区域（停在分界线上重转）的数都是奇数或都是偶数时，则玲玲获胜，当两个指针所停区域的数是一奇一偶时，则兰兰获胜，列表或画树状图，用概率的知识说明这个游戏对她们是否公平？
解：同时自由转动两个转盘，出现的情况如图，
共有9种等可能的结果，
两个指针所停区域的数都是奇数的概率为，
两个指针所停区域的数都是偶数的概率为，
两个指针所停区域的数是一奇一偶的概率为
+，
所以，这个游戏对他们不公平，兰兰获胜的可能性大．
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21、11.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数
的图象与反比例函数 y=的图象的两个交点.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值
的x的取值范围.
（3）求△ABO得面积。
解：（1）把A（﹣4，2）代入y=，得n=﹣8，
即反比例函数为y=﹣，则-4= n=2，
即B（2，﹣4），把A（﹣4，2），B（2，﹣4）代入y=kx+b，
求得k=﹣1，b=﹣2，所以y=﹣x﹣2；
（2）由图象可知：x＞2或-4＜x＜0．
（3）当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2
y=﹣x﹣2与y轴交点坐标为C（0，-2）
△ABO得面积=△CBO得面积+△CAO得面积
=*2*2+*2*4=6
22、某饮料厂为了开发新产品，用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制千克，两种饮料的成本总额为元．
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出与之间的函数关系式．
（2）若用19千克种果汁原料和17.2千克种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，右表是试验的相关数据；请你列出关于且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使值最小，最小值是多少？
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每千克饮料
果汁含量
果汁
甲
乙
A
0.5千克
0.2千克
B
0.3千克
0.4千克
解：（1）依题意得y=4x+3（50-x）=x+150；
（2）依题意得
0.5x+0.2(50-x)≤19(1)
0.3x+0.4(50-x)≤17.2(2)
解不等式（1）得x≤30
解不等式（2）得x≥28
∴不等式组的解集为28≤x≤30
∵y=x+150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30
∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，即y最小=28+150=178元．
23、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．
解答：
（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
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∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解法一：
过点O作OM⊥CD于点M，如图1，
∵OD=OE=BE=BO，∠BDO=90°，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB为△ODC的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
∴∠DCB=30°，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，
∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=2；
解法二：
过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，如图2，
∵OM⊥CD，
∴CM=DM，又O为EC的中点，
∴OM为△DCE的中位线，且OM=1，
∴DE=2OM=2，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
∵Rt△BDO中，OE=BE，
∴DE=BO，
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∴BO=BE+OE=2OE=4，
∴OD=OE=2，
在Rt△BDO中，根据勾股定理得BD=2．
24、如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，
可得c=0，∴
解得a=，b=，
∴抛物线解析式为y=x2+x．
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（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．
如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=yA﹣yM=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴t2﹣t+2=，
化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，
∴点P的坐标为（，）
∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），
易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH
∴点Q的坐标为（a，）．
A′Q=﹣a+3﹣=（3﹣a）
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
过点R作RH⊥x轴于H，
∵tan∠OAB=tan∠KRH==2，
∴RH=2KH OH=4RH=2 a﹣2
∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a
S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•HT
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a2+a﹣=（a﹣）2+
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由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
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