2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编(重排版).doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版 目录 一 2012广东初中数学竞赛预赛 1‎ 二 2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区） 4‎ 三 2012年北京市初二数学竞赛试题 9‎ 四 2012年全国初中数学竞赛（海南赛区） 10‎ 五 2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 13‎ 六 2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区） 14‎ 七 2012年全国初中数学竞赛试题 19‎ 八 2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 20‎ 九 2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案 26‎ 十 2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 28‎ 十一 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】 29‎ 十二 2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 34‎ 十三 2012年全国初中数学竞赛试题（副题） 38‎ 十四 2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 40‎ 十五 2012年全国初中数学竞赛试题（正题） 49‎ 十六 2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 54‎ 小贴士：word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决 ‎1.开始，运行里输入regedit,回车 2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项 3.在默认项上点右键选择修改 4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表 5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 一 ‎2012广东初中数学竞赛预赛 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）‎ 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. ‎ ‎1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】‎ ‎（A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2‎ ‎【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．‎ ‎2．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答】C．第3题图 解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以 解得．‎ ‎3．如图，在⊙O中，，给出下列三个 结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°‎ 时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【 】‎ ‎（A）0 （B）1 ‎ ‎（C）2 （D）3‎ ‎【答】D．解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得．‎ ‎4.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是.‎ ‎5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共 x y O A B C1‎ C2‎ C3‎ C4‎ C5‎ 第5题图 有【 】（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 ‎【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB 的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求 出OC1=OC2=，可得，‎ 以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，‎ 可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出．‎ y x O 第6题图 ‎6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答】A．解：的顶点坐标是，设，，由得，所以．‎ 二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）‎ ‎7．若，则的值为 ．‎ ‎【答】7．解：．‎ ‎8．方程的解是 ．‎ ‎【答】．解：‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第9题图 ‎.∴，解得 .‎ ‎9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），‎ 若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转 ‎90°得到线段，则点的坐标是 ．‎ ‎【答】．解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别 为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BD． 由于点A的 坐标是，所以，，所以点的坐标是．‎ A B C D M N 第10题图 E ‎10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为 ．‎ ‎【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移 可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于 矩形AMND的面积，等于．‎ ‎11．已知α、β是方程的两根，则的值为 ．‎ ‎【答】．解：∵α是方程的根，∴．‎ ‎∴ ，又 ∵‎ ‎∴ =．‎ ‎12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．‎ ‎【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个．‎ 三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）‎ ‎13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？‎ 解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况： …………………2分 ‎（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得 ，‎ 整理，得 x、y均为0 ~ 9的整数，‎ ‎∴ 此时 ‎∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分 ‎（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得 ，‎ 整理，得 ，故x为偶数，又 ‎∴ ∴ 此时 ‎∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分 综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分 ‎14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．‎ 解：（1）直线经过P，∴ ．‎ ‎∵B，A，BD=BA，∴ 点D的坐标是，‎ ‎∴ BD的解析式是, ‎ 依题意，得 ，∴‎ ‎∴ 解得……………………………………………7分 ‎ （2）且k为最大整数，∴.‎ 则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为．‎ 解方程组得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，‎ ‎∴．解得 ．……………………………………15分 ‎15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，‎ BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值．‎ 解：（1）证明：如图①，‎ ‎∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，‎ A B C O D E F G P Q M N 图①‎ ‎∴四边形OABC是矩形．‎ ‎∴．‎ ‎∵E、G分别是AB、CO的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴四边形AECG为平行四边形.‎ ‎∴ ……………………………4分 连接OB，‎ ‎∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，‎ ‎∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，‎ ‎∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分 ‎（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．‎ A B C O D E F G P Q M N 图②‎ 此时 ∠AED+∠CEB =90°．‎ 又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．‎ ‎∴△AED∽△BCE．………………………………8分 ‎∴．‎ 设OA=x，AB=y，则∶=∶，得．…10分 又 ，即．‎ ‎∴，解得．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分 ‎（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．‎ 图③‎ 由△PCF∽△PEG得，‎ ‎∴ ==AB， =GE=OA，‎ ‎∴ ．‎ 在Rt△中，，‎ 即 ， 又 ，‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴ ．……………………………………18分 一 ‎2012年北京市初二数学竞赛试题 ‎．选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎．方程|2x－4|＝5的所有根的和等于(　　)．‎ A．－0.5 B．4.5 C．5 D．4‎ ‎．在直角坐标系xOy中，直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是(　　)．‎ A．(3，12) B．(1，20) C．(－0.5，26) D．(－2.5，32)‎ ‎．两个正数的算术平均数等于，它们乘积的算术平方根等于，则期中的大数比小数大(　　)．A．4 B． C．6 D．3‎ ‎．在△ABC中，M是AB的中点，N是BC边上一点，且CN＝2BN，连接AN与MC交于点O，四边形BMON的面积为14cm2，则△ABC的面积为(　　)．‎ A．56cm2 B．60cm2 C．64cm2 D．68cm2‎ ‎．当a＝1.67，b＝1.71，c＝0.46时，等于(　　)．‎ A．20 B．15 C．10 D．5.55‎ ‎．填空题(每小题7分，共35分)‎ ‎．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋2009×2010－2011×2012＝＿＿＿．‎ ‎．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数．‎ ‎．△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝13cm，自A分别作∠C平分线的垂线，垂足为M，作∠B的平分线的垂线，垂足为N，连接MN，则＿＿＿＿．‎ ‎．实数x和y满足x2＋12xy＋52y2－8y＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．‎ ‎．P为等边△‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ABC内一点，AP＝3cm，BP＝4cm，CP＝5cm，则四边形ABCP的面积等于＿＿cm2．‎ ‎(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b，c，是常数．‎ ‎(满分15分)．已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n的最小值．‎ ‎(满分15分)．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P为形内一点，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求证：PA＋PB＝PC．‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷 ‎（本试卷共4页，满分120分，考试时间：‎3月11日8:30——10:30）‎ 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）‎ ‎1、下列运算正确的是（ ） ‎ A．x2‧x3=x6 B． 2x+3x=5x‎2 C．(x2)3=x6 D． x6¸x2=x3‎ ‎2、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ）‎ A．129 B．‎120 C．108 D．96‎ ‎3、实数a＝20123－2012，下列各数中不能整除a的是（ ）‎ A．2013 B．‎2012 C．2011 D．2010‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 图1‎ ‎4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“‎1”‎所在的区域上的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）‎ 速度 时间 O A 速度 时间 O B O 速度 时间 C 速度 时间 O D 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎6、要使有意义，则的取值范围为 ‎ A B C D E F 图2‎ A． 　B．　 　C． 　D． ‎ ‎7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、如图2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，‎ 且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（ ）‎ 图3‎ x y ‎1‎ ‎①△△CEF是等腰三角形 　　　 ②四边形ADFE是菱形 ‎③四边形BFED是平行四边形 ④∠BDF+∠CEF＝2∠A A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎9、如图3，直线x＝1是二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有( )‎ A．a＋b＋c＝0 B．b＞a＋c C．b＝‎2a D．abc＞0‎ ‎10、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为‎4cm，‎10cm，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长‎12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为‎8.5cm的圆洞中穿过，结果是（ ）‎ ‎ A．甲板能穿过，乙板不能穿过 B．甲板不能穿过，乙板能穿过 x y ‎－1‎ o 图4‎ C．甲、乙两板都能穿过 D．甲、乙两板都不能穿过 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）‎ ‎11、x与y互为相反数，且，那么的值为__________.‎ ‎12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示，则化简得________.‎ ‎13、若x=－1是关于x的方程a2x2+2011ax－2012=0的一个根，则a的值为__________.‎ ‎14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时，由B码头逆水航行到A码头需8小时，则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．‎ ‎15、如图5，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．‎ 图7‎ A B C D E 图5‎ A E D C F O B 图6‎ A M l ‎16、如图6，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．‎ ‎17、如图7，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB=145°，则∠DBE的度数是________.‎ 图8‎ B＇‎ E D＇‎ A B C D G ‎18、如图8所示，矩形纸片ABCD中，AB＝‎4cm，BC＝‎3cm，‎ 把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.‎ 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)‎ ‎19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：‎ ‎（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？‎ ‎（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？‎ ‎（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？‎ ‎（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.‎ ‎20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：‎ ‎（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；‎ ‎（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2；‎ ‎（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．‎ 图9（1）‎ M N Q A B C D P 图9 （2）‎ P A B C D y 图9（3）‎ A B C D O x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C D D A C B A B D B ‎7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用对角线互相垂直进行解答.‎ ‎9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a＋b＋c＜0,当x=-1时有a-b＋c＞0,即a＋c＞b,即b＜a＋c，函数的对称轴为，则b＝－‎2a，因为抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，所以c＜0，由b＝－‎2a可得b＜0．所以abc＞0，因而正确答案为D 图Ａ A B C D E F 图Ｂ A B C D ‎10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=‎4cm，BC=‎10cm，∠C=60°，过点A过AE//CD，交BC于点E，过点B作BE⊥CD于点F，可求得AB=cm＞‎8.5cm，BE=cm＞‎8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC中，‎ 顶角∠A=45°，作腰上的高线BD，可求得BD=cm＜‎8.5cm，‎ 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）‎ A B C D E 图7‎ ‎11、 12、a+1 13、 a1=2012, a2=－1 14、48‎ ‎15、单位面积 16、3个 17、85° 18、‎ ‎17、分析：易证△CEA与△CDB全等，从而有∠DBC=∠EAC，因为，‎ ‎∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°，‎ 所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°‎ 图8‎ B＇‎ E D＇‎ A B C D G F ‎18、分析：AB＝‎4cm，BC＝‎3cm，可求得AC=‎5cm，由题意可知 C B＇=BC=‎3cm，A B＇=‎2cm设BE=x，则AE=4-x，则有(4-x)2-x2 =22,‎ x=‎1.5cm，即BE=DG=‎1.5cm，过点G作GF⊥AB于点F，则 可求出EF=‎1 cm，所以EG=‎ 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)‎ ‎19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.‎ 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成此项工程，依题意得：‎ ‎，解得：x=20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.‎ ‎（2）设完成这项道路改造工程共需y天，依题意得：，解得y=40 。 ‎ 答：完成这项道路改造工程共需40天.另：也可列方程： ‎ ‎（3）因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作a天，则由题意可知乙工程队还需单独做（60‎-3a）天，得：‎ ‎（1+2.5）a ＋1×（60‎-3a）≤65‎ ‎3.5 a‎＋60‎-3 a≤‎65 a≤10 答：甲、乙两个工程队最多能合作10天.‎ ‎（4）由题意知，甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作，又 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天。设应安排他们合作m天，由题意可得：‎ ‎ 解得：m=18. 即，安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天. 施工费为：2.5×18+1×24=69（万元）.‎ ‎20、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题各5分.‎ 解：（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD，‎ 图9（1）‎ M N Q A B C D P 如图9（1）所示，∵MN是BC的中垂线，所以有PA=PD，PC=PB，‎ 又四边形ABCD是矩形，∴AC=DB ‎∴△PAC≌△PDB（SSS）‎ ‎（2）证明：过点P作KG//BC ，如图9（2）‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC ‎∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2‎ 同理，PC2=CG2+PG2 ；PB2= BK2+ PK2，PD2=+DG2+PG2‎ 图9（2）‎ K G P A B C D PA2+PC2= AK2+PK2+ CG2+PG2， ，PB2+ PD2= BK2+ PK2 +DG2+PG2‎ AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB ，可证得四边形ADGK是矩形，‎ ‎∴AK=DG，同理CG=BK ，‎ ‎∴AK2=DG2，CG2=BK2 ∴PA2+PC2=PB2+PD2‎ ‎（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）‎ H I A B C D O x y P 图9（3）‎ ‎∴BC=4，AB=2 ∴=4×2=8‎ 作直线HI垂直BC于点I，交AD于点H ‎①当点P在直线AD与BC之间时 即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4-x ‎②当点P在直线AD上方时，‎ 即y -x =4，因而y与x的函数关系式为y=4+x ‎③当点P在直线BC下方时， ‎ 即x - y =4，因而y与x的函数关系式为y=x-4‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）‎ 一、选择题（每小题7分，共35分）‎ ‎1．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ C ） ‎ A． B． C． D．‎ 解：由实数，，在数轴上的位置可知，且，所以 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2．在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（ B ）A．10 B．‎9 C．7 D．5‎ 解：由题设，得．因为，均为整数，所以有 ‎，，，‎ 解得，，，，，，，，,以上共计9对 ‎3．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ B ）A． B．‎4 C． D．‎ 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．由于AC = BC，CD = CE，‎ ‎．‎ 所以 △BCD≌△ACE， BD = AE．又因为，所以．‎ 在△中，，于是DE=，所以CD = DE = 4．‎ ‎4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ D ）A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数．‎ 由题设可得 ．消去x得，，．‎ 因为为正整数，所以的值分别为1，3，5，15．y的值只能为4，5，6，11．‎ 从而n的值分别为8，3，2，1．所以 x的值分别为14，7，6，7．‎ ‎5．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A．2012 B．‎101 C．100 D．99‎ 解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．‎ 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，‎ 解得，，．‎ 二、填空题（每小题7分，共35分）‎ ‎6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 ．‎ 解：前四次操作的结果分别为 ‎，，，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎．由已知得，．解得．‎ 容易验证，当，，，故x的取值范围是．‎ ‎7．如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于 ．‎ 解：如图，设的中点为，连接，则．‎ 因为，所以，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎8．如果关于x的方程的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．‎ 解：根据题意，关于x的方程有，由此得．‎ 又，所以 ，．‎ 此时方程为，解得．故 ‎9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 8 ．‎ 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 ．由此得．‎ 又，所以．‎ 于是，．‎ 由此得或．‎ 当时，，；当时，，，．不合题设．故．‎ ‎10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，．分别延长，，交点为．作，并与的延长线交于点．若，，则的长为 ．‎ 解：如图，连接，，． 由是⊙O的直径知．‎ 依题设，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以．所以，因此 ．‎ 因为是⊙O的半径，，‎ 所以垂直平分，，于是 ．‎ 因此．由，知．‎ 因为，所以 ，．‎ 故．‎ 三、解答题（每题20分，共80分）‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．‎ 解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10．‎ 由勾股定理，得．易知，‎ 因此 CO = BO = 6． 于是，，．‎ 设点D的坐标为．由，得．‎ 所以 ，．解得 ． ‎ 因此D为AB的中点，点 D的坐标为．因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，‎ 点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为． ‎ 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．‎ ‎12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．‎ 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）．‎ 解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 ‎，．‎ 所以， CI = CD． ‎ 同理，CI = CB ．故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，‎ 且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．故OI是△IBD外接圆的切线． ‎ ‎（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．‎ 由，知OC⊥BD．‎ 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE． ‎ 又因为I是△ABD的内心，所以．‎ 故． ‎ ‎13．已知整数，满足：是素数，且是完全平方数．当时，求 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 的最小值．‎ ‎【解答1】设（是素数），（n是正整数）． ‎ 因为 ，所以 ，．‎ 因为与都是正整数，且（m为素数)，‎ 所以 ，．‎ 解得， ． 于是．又，即．‎ 又因为m是素数，解得． 此时，=2025． 当时，，，．因此，a的最小值为2025．‎ ‎【解答2】设（是素数），（n是非负整数）。 ‎ 由于，，，，，‎ 因此，，，，，都不是质数。 5分 由于，且不能被2，3，4，…，44整除，‎ 因此，是质数。………… 10分 ‎（1）当，即时，由以及是素数知，的最小值为。………… 15分 ‎（2）当时，，，‎ 由于，，，都不是质数，而2017是质数。‎ 当时，，不是完全平方数。所以，此时。‎ 由（！）、（2）可知，的最小值为。 …………… 20分 ‎14．将（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．‎ 解：当时，把分成如下两个数组：和．‎ 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．‎ 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得． ‎ 所以，． ‎ 下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组． ‎ 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. ‎ ‎1．如果那么的值为（ ）． ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式≤2x+2y的整数点坐标（x , y）的个数为（ ）（A）10 （B）9 （C）8 （D）7‎ ‎3．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．‎ ‎ （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎4．如果关于x的方程（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）8‎ ‎5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）‎ ‎6．如果a、b、c是正数，且满足，，那么 的值为 .‎ ‎（第6题图）‎ ‎7．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .‎ ‎8．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．‎ ‎9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .‎ ‎10．已知n 是偶数，且1≤n≤100，若有唯一的正整数对（a，b）使得成立，则这样的n的个数为 .‎ 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎11．二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的范围．‎ ‎12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：‎ ‎（1）OI是△IBD的接圆的切线；‎ ‎（2）AB+AD=2BD.‎ ‎ ‎ ‎13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.‎ ‎14．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b,c(可以相同)使得，求n的最小值. ‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷 一、选择题 ⑴若四个互不相等的正实数满足，，则的值为（）‎ ‎ ‎ ⑵一个袋子中装有个相同的小球，它们分别标有号码.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（） ‎ ⑶如图，矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，得折痕 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，则的长为（）（A） （B） （C） （D）‎ ⑷在正就变形中，若对角线,则的值等于（）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ⑸有个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则的最小值等于 （ ）‎ ‎() 171 () 172 () 180 () 181‎ 二、填空题 ⑹若，则的值为 ‎ ⑺若四条直线所围成的凸四边形的面积等于，则的值为__________.‎ ⑻如图，半径为的沿折线作无滑动的滚动，如果，，那么，自点至点转动了__________周.‎ ‎(9)如图，已知中，为中点，为边三等分点，分别交于点，则等于_______.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(10)若平面内有一正方形，是该平面内任意点，则的最小值为______.‎ 三、解答题 ⑾已知抛物线经过点，且与轴交于两点，若点为该抛物线的顶点，求使面积最小时抛物线的解析式。‎ ⑿如图，分别以边长1为的等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点，连接交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，求的长。‎ ⒀已知与同为质数，求的值。‎ ⒁已知关于的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数的取值范围。‎ 答案及详解 1、 答案：。可将与看做方程的两个解，则化为 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，因为，所以原式 1、 答案：D。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为；若第一次抽出2号球，则第二次抽出号球可满足要求，概率为；若第一次抽出3号球，则第二次抽出号球可满足要求，概率为；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为；加和得到最后概率为 2、 答案：。因为，所以，根据勾股定理得到，得到，易得，过点作于，，‎ 3、 答案：。如图，设为正九边形的中心，连结，则，，又易得，，在上截取连结，，，，又，，，又 4、 答案：。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有种，每个人报名方式有9种，要求有20人相同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为 5、 答案：。，展开后，，即，，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 1、 答案：或。无论为正或负，围成的图形均为直角梯形或直角三角形，面积都等于中位线乘以高，高为4，则中位线为3。中位线一定在这条直线上，则可得到中点坐标为或，则代入得到或 2、 答案：。的长度刚好为圆的一个周长，4段线段长度和为4倍周长，也就是圆转了4周，但经过点从到时，从与相切到与相切转动了一个补角的度数，同理两点都要转一个补角度数，总共转了，即周长 3、 答案：。如图，作，，，，，，，，,‎ 4、 答案：。如图，通过勾股定理易得，，，，，，又，所以当最小时，这个值最小，所以当时最小，即点与点重合时 5、 因为经过，代入得，，，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 点纵坐标为，，当时最小，解析式为 1、 如图，过点作，连结，易得为正三角形，所以，又，，，，‎ 2、 ‎，①当，即时，，即为合数，不符合题意；②当，即时，，即为合数，不符合题意；③当时，为合数，不符合题意；此时只能取，当时，为合数符合题意，所以 3、 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 一 ‎2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）‎ ‎1．已知，，，那么的大小关系是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.方程的整数解的组数为 （ ）‎ A．3. B．4. C．5. D．6.‎ ‎3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知实数满足，则的最小值为 （ ）‎ A．. B．0. C．1. D．.‎ ‎5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为 （ ）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ A．0. B．. C．. D．.‎ ‎6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有 （ ）‎ A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.‎ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）‎ ‎1．已知互不相等的实数满足，则 ． ‎ ‎2．使得是完全平方数的整数的个数为 ．‎ ‎3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝ ．‎ ‎4．已知实数满足，，，则＝ ．‎ 答案：选择题：1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C ‎ 填空题：1.2. 1 3. 4.‎ 第二试 （A）‎ 一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.‎ 解 设直角三角形的三边长分别为（），则.‎ 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.‎ 由及得，所以.‎ 由及得，所以.‎ 又因为为整数，所以. ‎ 根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以 ‎，‎ 因为均为整数且，所以只可能是解得 所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.‎ 证明：连接OA，OB，OC. ‎ ‎∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，. ‎ 又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，‎ ‎∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，‎ ‎∴，∴. ‎ 三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.‎ 解 易求得点P，点C.‎ 设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.‎ 显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.‎ 因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. ‎ 又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. ‎ 又因为AM//BC，所以，即. ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 把代入解得（另一解舍去）.‎ 因此，抛物线的解析式为. ‎ 一 ‎2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷 ‎．选择题(每小题7分，共42分)‎ ‎．若x＜1，则化简|x－1|得(　　)．‎ A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋1 ‎ ‎．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于(　　)．‎ A．－2 B．－1 C．1 D．2‎ ‎．若a＜0，p＞q＞0，则(　　)．‎ A．|pq|＞|qa| B．|pq|＜|qa| C． D．‎ ‎．已知凸四边形ABCD对角线交于O，满足AO＝OC，BO＝3OD，若△ADO的面积为1，则凸四边形ABCD的面积为(　　)．A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎．若|a－1|＋|a－2|＜3，则a的取值范围是(　　)．‎ A．a＜0 B．0＜a＜3 C．3＜a D．1＜a＜2‎ 在凸四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝2CD＝2，则AB＝(　　)．A．4 B．3 C．6 D．4‎ ‎．填空题(每小题7分，共28分)‎ ‎．如果每人工作效率相同，a个人b天共做c个零件，那么要做a个零件，b个人需要的天数是＿＿＿．(用含a、b、c的代数式表示)‎ ‎．若，则的值为＿＿＿＿＿．‎ ‎．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．‎ ‎．P为矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD的长等于＿＿＿＿．‎ ‎．计算与应用(本题满分20分)‎ ‎．已知直线y＝kx＋b经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x轴、y轴的交点分别为C、D．设O为坐标原点，求△COD的面积．‎ ‎．(本大题满分25分)‎ ‎．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．‎ 求证：BC＝AC＋AD．‎ ‎．(本大题满分25分)‎ 把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了．求两组数原来的平均数．‎ 二 ‎2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】‎ 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1、如果，那么的值为【 】‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ 解：B∵∴，，因此原式=‎ 2、 在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标（x，y）的个数为【 】（A）10 （B）9 （C）7 （D）5‎ 解：B解法一：化为 因为x、y均为整数，因此或或 分别解得或或所以共有9个整点 解法二：化为它表示以点（1,1）为圆心，为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）‎ ‎3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为【 】‎ ‎（A） （B）4 （C） （D）4.5‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． 由于AC = BC，CD = CE，‎ ‎．所以 △BCD≌△ACE， BD = AE．‎ 又因为，所以．在△中，，‎ 于是DE=，所以CD = DE = 4．‎ ‎4、如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8‎ 解：C∵p、q是正整数∴，∴正根为 解得∴，，，，，，‎ ‎5、黑板上写有，，，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99‎ 解：C ∵计算结果与顺序无关 ‎∴顺次计算得：，，，……‎ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）‎ ‎6、如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ． ‎ 解：7在两边乘以得即 ‎7、如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于 ．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解：如图，设的中点为，连接，则．‎ 因为，所以，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎8、设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .‎ 解：1600‎ 因此，所以，因此所以共有2012-402=1600个数 ‎9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .‎ 解：‎ 依题意得：，所以，代入（2）得 ‎，两边乘以a得 即化简得，两边除以得 所以另一方面：a≤b≤c，所以综合得 ‎10、已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ．‎ 解：依题意得 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤≤100时，4的倍数共有25个 但是，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）‎ ‎11、如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．‎ 解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10．‎ 由勾股定理，得．易知， 因此 CO = BO = 6． ‎ 于是，，．设点D的坐标为．由，得．‎ 所以 ，．解得 ． 因此D为AB的中点，点 D的坐标为． 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为． ‎ 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．‎ ‎12、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：‎ ‎（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 ‎，‎ ‎．‎ 所以， CI = CD． 同理，CI = CB ．‎ 故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，‎ 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．故OI是△IBD外接圆的切线． ‎ ‎（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．由，知OC⊥BD．‎ 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE． ‎ 又因为I是△ABD的内心，所以．故． ‎ ‎ 13、给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．‎ 解：‎ ‎14、将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．‎ 解：当时，把分成如下两个数组：‎ 和．‎ 在数组中，由于，‎ 所以其中不存在数，使得．‎ 在数组中，由于，‎ 所以其中不存在数，使得． ‎ 所以，． ‎ 下面证明当时，满足题设条件．‎ 不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组． ‎ 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．‎ 综上，满足题设条件．‎ 所以，的最小值为．‎ 注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．‎ 一 ‎2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题 一、选择题（每题5分，共25分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共根，则的值为（ ）A、0 B、‎1 ‎ C、2 D、3‎ ‎2、设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ）‎ A、2 B、‎0 ‎ C、-2 D、-1‎ Y X F D O B A C E ‎(4题)‎ ‎3、正实数a1,a2,….，a2011满足a1+a2+…..+a2011=1,设P=，则（ ）‎ A、p>2012 B、p=2012 ‎ C、pBC，取线段AE的中点M 。‎ ‎（1）求证：MD=MF,MD⊥MF(6分)‎ ‎（2）若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分）‎ A D F M E C B ‎(图2)‎ E F M D A B C ‎（图1）‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎16‎ X(周)‎ ‎20‎ ‎30‎ Y(元)‎ A D C B ‎13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时间x（周）之间的函数关系式为Z=(1≤x≤16且x为整数) ‎ ‎（1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）‎ ‎（2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）‎ ‎（3）求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎14、如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=﹣3于点N。‎ ‎（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；（4分）‎ ‎（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（6分）‎ ‎（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标，如果不可能，请说明理由。（4分）‎ X O B C N X=﹣3‎ P A M Y 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 九年级数学答案 ‎1、D 2、C 3、A 4、C 5、A ‎6）-1 7） 8） 9） 10）‎ ‎11、设直角边为a，b（ak-n-6 ∴‎ 解得，k2=15,k3=12‎ ‎ 当k2=15时，a+b=17,ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；当k=12时，a+b=14,ab=48‎ ‎∴a=6 ， b=8 ，c=10‎ ‎12、略 ‎13、（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）由（2）化简得 ‎①当时 ∵1≤x≤6 ∴当x=6时，w有最大值，最大值为18.5‎ ‎②当 ‎ ‎∵6≤x≤11，故当x=11时，w有最大值，最大值为 ‎③当 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎∵12≤x≤16 ∴当x=12时，w有最大值为18‎ 综上所述，当x=11时，w有最大值为 答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为 ‎14、（1）略 ‎(2)‎ ‎（3）P1（0，3） P2‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛试题（副题）‎ 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. ‎ ‎1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：‎ 由上，我们可知第100行的最后一个数是（    ）．‎ ‎（A）10000      （B）10020      （C）10120      （D）10200‎ ‎2. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（    ）．‎ ‎（A）11      （B）12      （C）13      （D）14‎ ‎3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（    ）．（A）1        （B）2      （C）3       （D）4‎ ‎4. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共 点，则k的取值范围是（    ）．‎ ‎（A）k＞，或k＜－1      （B）－1＜k＜，且k≠1‎ ‎（C）k＞，或k≤－1      （D）k≥，或k≤－1‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎5. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（    ）．‎ ‎     （A）      （B） ‎ ‎（C）       （D）无法确定 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）‎ ‎6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上， ；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为         ．‎ ‎（第6题）‎ ‎7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后       分钟追上乙车．‎ ‎8. 设an=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值        1. ‎ ‎（填“＞”，“＝”或“＜”）‎ ‎9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等， 那么共有           种放法．‎ ‎10. △ABC中，已知，且b=4， 则a+c=         .‎ 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）‎ ‎11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎12. 求关于a，b，c，d的方程组    ‎ 的所有正整数解.‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．‎ ‎（第13题）‎ ‎ ‎ ‎14.（1）已知 三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.‎ ‎（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数 ‎ 满足首尾两项的积等于中间项的平方？‎ ‎（3）设为非零实数，若将一列数 中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值. ‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 ‎ 一、选择题 ‎1．D 解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是． ‎ ‎2.  B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.‎ ‎3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数． ‎ ‎≥0，又2≥，所以，‎ ‎ ‎ 当时，解得  ；‎ ‎ ‎ 当时，解得  ．‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎4.  C解：当函数为二次函数时，有 ‎ ‎ ‎                    k2－1≠0，‎ ‎ ‎ ‎                       =(k+1)2－4(k2－1)＜0.‎ ‎ ‎ ‎     解得k＞，或k＜－1．‎ ‎ ‎ ‎ 当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．‎ ‎ ‎ ‎     当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.‎ ‎ ‎ ‎     所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1. ‎ ‎ 5.  B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第5题）‎ ‎ ‎ 解：如图，设，作BKCE，则 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 即平分.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 二、填空题 ‎6.  30‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第6题）‎ ‎ ‎ 解：如图，连接PD，则 ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎7．180‎ ‎ ‎ 解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知 ‎ ‎ ‎，    ．‎ ‎ ‎ 消去z，得．‎ ‎ ‎ 设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 解得．‎ ‎ ‎ ‎8．＜‎ ‎ ‎ 解：由an==， 得 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ a1+a2+…+a2012=‎ ‎ ‎ ‎=＜1.‎ ‎ ‎ ‎9．25‎ ‎ ‎ 解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有 ‎ ‎ ‎1≤≤9，‎ ‎ ‎ 且 ‎ ‎ ‎，                  （1）‎ ‎ ‎ 即               ，            （2）‎ ‎ ‎ 于是 ．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到 ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ 此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有 ‎ ‎ ‎9×3－2 = 25种放法．‎ ‎ ‎ ‎10.  6‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎（第10题）‎ ‎ ‎ 解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.‎ ‎ ‎ 由切线长定理得 ‎ ‎ ‎ AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).‎ ‎ ‎ 在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即 ‎ ‎ tan.‎ ‎ ‎ 同理，  tan， tan.‎ ‎ ‎ 代入已知等式，得 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎ ‎ 因此 a+c=.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 的一元二次方程 ‎ ‎ ‎                                               ‎ ‎ ‎ 的两个根.‎ ‎ ‎ 故                   ≥0，‎ ‎ ‎ ‎≥0，‎ ‎ ‎ 即                         ≥0，‎ ‎ ‎ 所以≥20．‎ ‎ ‎ 于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故 ‎ ‎ ‎≥30，‎ ‎ ‎ 当时，等号成立．‎ ‎ ‎ ‎12. 解：将abc=d 代入10ab+10bc+10ca=9d得 ‎ ‎ ‎10ab+10bc+10ca=9abc.‎ ‎ ‎ 因为abc≠0，所以，.‎ ‎ ‎ 不妨设a≤b≤c，则 ‎ ‎ ‎≥≥＞0.‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 于是，                ＜≤，‎ ‎ ‎ 即                          ＜≤，‎ ‎ ‎ ‎＜a≤.‎ ‎ ‎ 从而，a=2，或3.‎ ‎ ‎ 若a=2，则.‎ ‎ ‎ 因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.‎ ‎ ‎ ‎ 从而，b=3，4，5. 相应地，可得 c=15，(舍去)，5.‎ ‎ ‎ 当a=2，b=3，c=15时，d=90；‎ ‎ ‎ 当a=2，b=5，c=5时，d=50.‎ ‎ ‎ 若a=3，则.‎ ‎ ‎ 因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤. ‎ ‎ ‎ 从而，b=2（舍去），3.‎ ‎ ‎ 当b=3时，c=(舍去).‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 因此，所有正整数解为 ‎ ‎ ‎(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，‎ ‎ ‎ ‎(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，‎ ‎ ‎ ‎(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).‎ ‎ ‎ ‎13. 证明：延长DA至，使得，则，于是 ‎ ‎ ‎△DPC∽△，‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 所以PO∥．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第13题）‎ ‎ ‎ 又因为△DPO ∽△，所以 ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 同理可得           ，‎ ‎ ‎ 而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．‎ ‎ ‎ ‎14. 解：（1）由题设可得 ，或，或 ‎ ‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎    由，解得 ；‎ ‎ ‎ ‎    由，解得 ；‎ ‎ ‎ ‎    由，解得 .‎ ‎ ‎ ‎    所以满足题设要求的实数.‎ ‎ ‎ ‎    （2）不存在.‎ ‎ ‎ 由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中 ‎ ‎ 间项的平方，则有 ‎ ‎ ‎                   ，‎ ‎ ‎ 解得 ，这与矛盾.‎ ‎ ‎ ‎    故不存在这样的数列.‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎    （3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，‎ ‎ ‎ 或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.‎ ‎ ‎ 如果删去的是，得到的一列数为，那么 ，可得.‎ ‎ ‎ ‎    如果删去的是，得到的一列数为，那么 ‎ ‎ ‎ ‎，开得.‎ ‎ ‎ ‎    所以符合题设要求的的值为1，或.‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛试题（正题） ‎ 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）‎ ‎1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）． ‎ ‎（第1（甲）题）‎ ‎（A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a ‎1（乙）．如果，那么的值为（ ）．‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ ‎2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．‎ ‎（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）．‎ ‎（A）10 （B）9 （C）7 （D）5‎ ‎3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）‎ ‎3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为 ‎（ ）．‎ ‎（第3（乙）题）‎ ‎（A） （B）4 （C） （D）4.5‎ ‎4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．‎ ‎（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8‎ ‎5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．‎ ‎（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99‎ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）‎ ‎6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .‎ ‎（第6（甲）题）‎ ‎6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ． ‎ ‎7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .‎ ‎　　　　‎ ‎（第7（甲）题）　　　　　　　（第7（乙）题）‎ ‎7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于 ．‎ ‎8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．‎ ‎8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .‎ ‎9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .‎ ‎10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与 EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .‎ ‎（第10（甲）题）‎ ‎10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ．‎ 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）‎ ‎11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．‎ ‎11（乙）． 如图，在平面直角坐标系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．‎ CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.‎ ‎（第11（乙）题）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．‎ ‎（第12（甲）题）‎ ‎12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证：‎ ‎（1）OI是△IBD的外接圆的切线；‎ ‎（2）AB+AD = 2BD.‎ ‎（第12（乙）题）‎ ‎13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.‎ ‎13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由 ‎14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.‎ ‎14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．‎ ‎2012-04-16‎‎ 人教网 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 一 ‎2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案 ‎ ‎   一、选择题 ‎ ‎ ‎1（甲）．C ‎ ‎ 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ‎ ‎ ‎，且，‎ ‎ ‎ 所以  ．   ‎ ‎ ‎ ‎1（乙）．B ‎ ‎ 解：．‎ ‎ ‎ ‎2（甲）．D ‎ ‎ 解：由题设知，，，所以.‎ ‎ ‎ 解方程组得  ‎ ‎ ‎ 所以另一个交点的坐标为（3，2）.‎ ‎ ‎ 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.‎ ‎ ‎ ‎2（乙）．B ‎ ‎ 解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2.‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 因为均为整数，所以有 ‎ ‎ ‎   ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎        ‎ ‎ ‎ 以上共计9对.‎ ‎ ‎ ‎3（甲）．D ‎ ‎ ‎    解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 中位数为             ，‎ ‎ ‎ 于是                   .‎ ‎ ‎ ‎3（乙）．B ‎ ‎ 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第3（乙）题）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ 由于AC = BC，CD = CE，‎ ‎ ‎ ‎∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，‎ ‎ ‎ 所以△BCD≌△ACE， BD = AE.‎ ‎ ‎ 又因为，所以.‎ ‎ ‎ 在Rt△中，‎ ‎ ‎ 于是DE=，所以CD = DE = 4. ‎ ‎ ‎ ‎4（甲）．D ‎ ‎ 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得 ‎ ‎ ‎ ‎ 消去x得                (2y－7)n = y+4，‎ ‎ ‎ ‎               2n =.‎ ‎ ‎ 因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．‎ ‎ ‎ ‎4（乙）．C ‎ ‎ 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，此时都有. 于是共有7组符合题意． ‎ ‎ ‎ ‎5（甲）．D ‎ ‎ 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．‎ ‎ ‎ ‎5（乙）．C ‎ ‎ 解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．‎ ‎ ‎ 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 解得                     ，．‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎ ‎ ‎6（甲）．7＜x≤19‎ ‎ ‎ 解：前四次操作的结果分别为 ‎ ‎ ‎ 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.‎ ‎ ‎ 由已知得       27x－26≤487，‎ ‎ ‎ ‎                   81x－80＞487.‎ ‎ ‎ 解得  7＜x≤19.‎ ‎ ‎ 容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是 ‎ ‎ ‎7＜x≤19．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎6（乙）．7‎ ‎ ‎ 解：由已知可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎7（甲）．8‎ ‎ ‎ 解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 由此得，所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第7（甲）题）‎ ‎ ‎ 在Rt△ABF中，因为，所以 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 于是             .‎ ‎ ‎ 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，‎ ‎ ‎ ‎      .‎ ‎ ‎ 于是        ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎                 .  ‎ ‎ ‎ 又，所以. ‎ ‎ ‎ 因为，所以.‎ ‎ ‎ ‎7（乙）．‎ ‎ ‎ 解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第7（乙）题）‎ ‎ ‎ 所以    .‎ ‎ ‎ ‎8（甲）．‎ ‎ ‎ 解：根据题意，关于x的方程有 ‎ ‎ ‎=k2－4≥0，‎ ‎ ‎ 由此得                           (k－3)2≤0．  ‎ ‎ ‎ 又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. ‎ ‎ ‎ 故==．‎ ‎ ‎ ‎8（乙）．1610‎ ‎ ‎ 解：因为==.‎ ‎ ‎ 当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；‎ ‎ ‎ 当被5除余数是0时， 不能被5整除.‎ ‎ ‎ 所以符合题设要求的所有的个数为．‎ ‎ ‎ ‎9（甲）．8‎ ‎ ‎ 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 由此得0≤b≤43.‎ ‎ ‎ ‎     又 ，所以. 于是 ‎ ‎ ‎                     0≤≤43，‎ ‎ ‎ ‎87≤≤130，‎ ‎ ‎ 由此得 ，或.‎ ‎ ‎ 当时，；当时，，，不合题设.‎ ‎ ‎ 故．‎ ‎ ‎ ‎9（乙）． ≤1‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎    解：由题设得 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以                   ，‎ ‎ ‎ 即                      .‎ ‎ ‎ 整理得 ‎ ‎ ‎                        ，‎ ‎ ‎ 由二次函数的图象及其性质，得.‎ ‎ ‎ 又因为 ≤1，所以≤1.‎ ‎ ‎ ‎10（甲）．‎ ‎ ‎ 解：如图，连接AC，BD，OD. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第10（甲）题）‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.‎ ‎ ‎ 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O ‎ ‎ 的内接四边形，所以 ‎ ‎ ‎∠BCF =∠BAD,‎ ‎ ‎ 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .‎ ‎ ‎ 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， ‎ ‎ ‎ 于是 . 因此 ‎ ‎ ‎.‎ ‎ ‎ 由△∽△，知．因为，‎ ‎ ‎ 所以 ，BA=AD ，故 ‎ ‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎10（乙）. 12‎ ‎ ‎ 解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．‎ ‎ ‎ 因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎ ‎ ‎11（甲）．解： 因为当时，恒有，所以 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 即，所以．                           ‎ ‎…………（5分）‎ ‎ ‎ 当时，≤；当时，≤，即 ‎ ‎ ‎≤，‎ ‎ ‎ 且                    ≤，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得≤．                                          ‎ ‎…………（10分）‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得 ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ 因为，所以 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 解得，或．‎ ‎ ‎ 因此．                  ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以 ‎ ‎ AB = 10．‎ ‎ ‎ 由勾股定理，得 BO=.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第11（乙）题）‎ ‎ ‎ 易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6. ‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.‎ ‎ ‎ 设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB.  所以  ‎ ‎ ‎ ‎               ，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 解得n=－4.  ‎ ‎ ‎ 因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）.            ‎ ‎…………（10分）‎ ‎ ‎ 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为.‎ ‎ ‎ 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =. ‎ ‎ ‎ 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 ‎ ‎ ‎.                ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎12（甲）． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎（第12（甲）题）‎ ‎             …………（5分）‎ ‎ ‎ 设与交于点，连接OM，则．又因为，所以 ‎ ‎ ‎．              ‎ ‎…………（15分）‎ ‎ ‎ 又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以 ‎ ‎ ‎△BOC∽△．            ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知 ‎ ‎ ‎            ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第12（乙）题）‎ ‎ ‎ 所以                         CI = CD．‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 同理，                   CI = CB.‎ ‎ ‎ 故点C是△IBD的外心.‎ ‎ ‎ 连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，‎ ‎ ‎ 所以OI⊥AC，即OI⊥CI.‎ ‎ ‎ 故OI是△IBD外接圆的切线.                                  ‎ ‎…………（10分）‎ ‎ ‎ ‎（2） 如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F. ‎ ‎ ‎ 由，知OC⊥BD.‎ ‎ ‎ 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以 ‎ ‎ Rt△BCF≌Rt△AIE，‎ ‎ ‎ 所以BF = AE.‎ ‎ ‎ 又因为I是△ABD的内心，所以 ‎ ‎ AB+AD－BD = 2AE = BD.‎ ‎ ‎ 故AB+AD = 2BD．                                 ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. ‎ ‎ ‎ 因为                  (a+b)2－4ab = (a－b)2，‎ ‎ ‎ 所以                  (2a－m)2－4n2 = m2，‎ ‎ ‎ ‎ (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.     ‎ ‎ …………（5分）‎ ‎ ‎ 因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 ‎ ‎ ‎            2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解得               a，. ‎ ‎ ‎ 于是               = a－m.           ‎ ‎…………（10分）‎ ‎ ‎ 又a≥2012，即≥2012.‎ ‎ ‎ 又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.‎ ‎ ‎ 当时，，，.‎ ‎ ‎ 因此，a的最小值为2025.                        ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．‎ ‎ ‎ ‎（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；                                    ‎ ‎…………（5分）‎ ‎ ‎ ‎（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．‎ ‎ ‎ 当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎．                                        ‎ ‎  …………（10分）‎ ‎ ‎ ‎（3）若，且≤≤．‎ ‎ ‎ 当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．‎ ‎ ‎ 由≤可得；由≥8可得，且．         ‎ ‎ …………（15分）‎ ‎ ‎ ‎（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．‎ ‎ ‎ 综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；‎ ‎ ‎ 当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．         ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以 ‎ ‎ ‎≥1，≥2，…，≥2012．‎ ‎ ‎ 于是  ≤．‎ ‎…………（10分）‎ ‎ ‎ 当时，令，则 ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎…………（15分）‎ ‎ ‎ ‎    当时，其中≤≤，令 ‎ ‎ ‎ ‎，则  ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎ ‎ 综上，满足条件的所有正整数n为．   ‎ ‎…………（20分）‎ ‎ ‎ ‎14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：‎ ‎ ‎ ‎  和  ．‎ ‎ ‎ ‎    在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．‎ ‎ ‎ 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得． ‎ ‎ ‎ 所以，≥．   ‎ ‎…………（10分）‎ ‎ ‎ 下面证明当时，满足题设条件．‎ ‎ ‎ 不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．‎ ‎ ‎ 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．‎ ‎ ‎ 综上，满足题设条件．‎ ‎ ‎ 所以，的最小值为．                           ‎ ‎ …………（20分）‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎