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第八单元 四边形
第26课时 多边形及其内角和
(56分)
一、选择题(每题8分，共32分)
1．[2016·宜昌]设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是 ( B )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．b＝a＋180°
【解析】 ∵四边形的内角和等于a，∴a＝(4－2)×180°＝360°.∵五边形的外角和等于b，∴b＝360°，∴a＝b.
2．[2017·苏州]如图26－1，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为 ( B )
A．30° B.36°
C．54° D.72°
【解析】 根据“正多边形的定义：各边都相等，各角都相等”，可计算出正五边形一个内角的度数∠A＝108°，再根据等腰△ABE两底角相等，可计算底角∠ABE＝36°.
图26－1 图26－2
3．[2016·十堰]如图26－2，小华从A点出发，沿直线前进10 m后左转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是 ( B )
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A．140 m B．150 m
C．160 m D．240 m
【解析】 ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形边数为360°÷24°＝15，∴小明共走了15×10＝150(m)．
4．[2017·宜昌]如图26－3，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是 ( B )
图26－3
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
【解析】 ∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°，∴①③剪开后的两个图形的内角和相等．
二、填空题(每题8分，共24分)
5．[2017·湖州]已知一个多边形的每一个外角都等于72°，则这个多边形的边数是__5__．
【解析】 边数n＝360°÷72°＝5.
6．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是__7__．
7．[2017·南京]如图26－4，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝__425__°.
图26－4
【解析】 ∵∠1＝65°，∴∠AED＝115°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝540°－∠AED＝425°.
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(20分)
8．(8分)如图26－5，已知四边形ABCD中，∠C＝72°，∠D＝81°.沿EF折叠四边形，使点A，B分别落在四边形内部的点A′，B′处，则∠1＋∠2＝__54°__.
图26－5 第8题答图
【解析】 如答图，连结AA′，BB′.
由题意，得∠1＋∠2＋∠FEA′＋∠EFB′＋∠D＋∠C＝360°，
又∵∠C＝72°，∠D＝81°，
∴∠FEA′＋∠EFB′＋∠1＋∠2＝207°.
又∵∠AEF＋∠BFE＋∠FEA′＋∠EFB′＋∠1＋∠2＝360°，
四边形A′B′FE由四边形ABFE翻转得到的，
∴∠FEA′＋∠EFB′＝∠AEF＋∠BFE，
∴∠FEA′＋∠EFB′＝153°，∴∠1＋∠2＝54°.
9．(12分)[2016·河北]已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x的值．
解：(1)∵360°÷180°＝2，
630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
∴甲同学说的是四边形，边数n是4；
(2)依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，
解得x＝2.故x的值是2.
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(24分)
10．(10分)[2016·枣庄]Pn表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么Pn与n的关系式是：
Pn＝·(n2－an＋b)，(其中a，b是常数，n≥4)．
(1)通过画图，可得，四边形时，P4＝__1__(填数字)；五边形时，P5＝__5__(填数字)；
(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值．
解：(1)如答图，由画图，可得当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5；
第10题答图
(2)将上述数值代入公式，得
解得
11．(14分)[2016·大丰校级月考]动手操作、探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图26－6①，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图②，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．(需写出说理过程)
探究三：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF(图③)呢？请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：__∠P＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°__.
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图26－6
【解析】 解：探究一：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD
＝180°－∠ADC－∠ACD
＝180°－(∠ADC＋∠ACD)
＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A；
探究二：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∵∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∵∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD
＝180°－∠ADC－∠BDC
＝180°－(360°－∠A－∠B)＝(∠A＋∠B)；
探究三：六边形ABCDEF的内角和为：(6－2)·180°＝720°，
∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD，
∵∠P＝180°－∠PDC－∠PCD
＝180°－∠EDC－∠BCD
＝180°－(∠EDC＋∠BCD)
＝180°－(720°－∠A－∠B－∠E－∠F)
＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°，
即∠P＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°.
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