广东省各市2017年中考数学模拟试题分类汇编专题12：探索性问题.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1．【2016广东省东莞市二模】如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：二次函数的图象 ‎2．【2016广东省汕头市澄海区一模】如图，已知一次函数y=﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：1、切线的性质；2、一次函数图象上点的坐标特征 二、填空题 ‎1．如图，已知双曲线(k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　　　　　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】9‎ 考点：反比例函数系数k的几何意义 ‎2．【2016广东省汕头市澄海区一模】观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为　　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： 由题意可知第一个数：1=，‎ 第二个数：，‎ 第三个数：‎ 第四个数：，‎ 第五个数：‎ ‎……‎ 根据分子是序号数的平方，分母是前面一个分母的两倍加1，由此即可写出：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第六个数：，‎ 考点：规律型：数字的变化类 ‎3．【2016广东省汕头市金平区一模】有一列具有规律的数字：，，，，…则这列数字第10个数为　　　　　　．‎ ‎【答案】‎ 考点：规律型：数字的变化类 ‎4．【2016广东省广州市华师附中一模】在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为　　　　　　．‎ ‎【答案】6或2或4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图1：‎ 当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；‎ 如图2：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当∠C=60°时，∠ABC=30°，‎ ‎∵∠ABP=30°，‎ ‎∴∠CBP=60°，‎ ‎∴△PBC是等边三角形，‎ ‎∴CP=BC=6；‎ ‎∴PC=PB===2；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图4：‎ 当∠ABC=60°时，∠C=30°，‎ ‎∵∠ABP=30°，‎ ‎∴∠PBC=60°+30°=90°，‎ ‎∴PC=BC÷cos30°=4．‎ 故答案为：6或2或4．‎ 考点：解直角三角形 ‎5．【2016广东省揭阳市普宁市二模】观察下列等式：‎ ‎21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22016﹣1的末位数字是　　　　　　．‎ ‎【答案】9‎ 考点：规律探索 ‎6．【2016广东省深圳市模拟】“五一”国际劳动节，广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆黄色花，第二层摆红色花，第三层是紫色花，第四层摆黄色花…由里向外依次按黄、红、紫的颜色摆放，那么第10层应摆　　　　　　盆　　　　　　花．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】60盆黄花 ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意发现：颜色是黄、红、紫三个一循环；花盆个数是逐层加6盆鲜花．第10层是10÷3=3…1，应摆放黄花；第一层是2×6﹣6=6盆花；第二层是3×6﹣6=12盆花；依此类推，第10层是11×6﹣6=60盆花．‎ 考点：规律探索 ‎7．【2015广西桂林市模拟】将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从左到右第n个数，如（3，2）表示正整数5，（4，3）表示正整数9，则（100，16）表示的正整数是　　　　　　．‎ ‎【答案】4966‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 考点：数字变化 ‎8．【2016广东省深圳市龙岭期中】观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有　　　　　　个“•”．‎ ‎【答案】111‎ 考点：规律型：图形的变化类 ‎9．【2016广东省深圳市二模】将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有　 　个“○”．‎ ‎【答案】385‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4=5；‎ 第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；‎ 第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；‎ 第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；‎ ‎…‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．‎ ‎∴第20个“稻草人”中的“○”的个数为1+23+192=385，‎ 考点：图形的变化规律以及数字规律 ‎10．【2016广东省深圳市二模】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　 　．‎ ‎【答案】2﹣2‎ 考点：圆的综合题 ‎11．【2016广东省潮州市潮安区一模】下列数据是按一定规律排列的，则七行的第一个数为　 　．‎ 第一行：1‎ 第二行：2 3‎ 第三行：4 5 6‎ 第四行：7 8 9 10‎ ‎…‎ ‎【答案】22‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】‎ 试题分析：设第n行第一个数为an（n为正整数），‎ 观察，发现规律：a1=1，a2=2=1+a1，a3=4=2+a2，a4=7=3+a3，…，‎ ‎∴an=a1+1+2+…+n﹣1=1+．‎ 当n=7时，a7=1+=22．‎ 考点：规律型中得数字的变化类 ‎12．【2016广东省深圳市二模】将一些相同的“○”按如图所示的规律，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第6个“稻草人”中有　　　　　　个“○”，则第n个“稻草人”中有　　　　　　个“○”．‎ ‎【答案】26，1+（n+3）+（n﹣1）2‎ 考点：规律型：图形的变化类 ‎13．【2016广东省深圳市二模】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为　　　　　　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】2﹣2‎ 考点：圆的综合题 三、解答题 ‎1．【2016广东省东莞市二模】如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（﹣2，0）．‎ ‎（1）求双曲线的解析式；‎ ‎（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】（1）y=（2）Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）‎ ‎（2）设Q（a，b），‎ ‎∵Q（a，b）在y=上，‎ ‎∴b=，‎ 当△QCH∽△BAO时，可得，即，‎ ‎∴a﹣2=2b，即a﹣2=，‎ 解得：a=4或a=﹣2（舍去），‎ ‎∴Q（4，1）；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当△QCH∽△ABO时，可得，即，‎ 整理得：2a﹣4=，‎ 解得：a=1+或a=1﹣（舍），‎ ‎∴Q（1+，2﹣2）．‎ 综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．‎ 考点：反比例函数综合题 ‎2．【2016广东省广州市番禹区】四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．‎ ‎（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；‎ ‎（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；‎ ‎（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．‎ ‎【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE（2）HO平分∠BHG（3）45°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．‎ 在△ABE和△DCF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠ABE=∠DCF，‎ ‎∵∠DAG=∠DCG，‎ ‎∴∠DAG=∠ABE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠DAG+∠BAG=90°，‎ ‎∴∠ABE+∠BAG=90°，‎ ‎∴∠AHB=90°，‎ ‎∴AG⊥BE；‎ ‎（2）由（1）可知AG⊥BE．‎ 如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．‎ ‎∴∠MON=90°，‎ 又∵OA⊥OB，‎ ‎∴∠AON=∠BOM．‎ ‎∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，‎ ‎∴∠OAN=∠OBM．‎ ‎（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与（1）同理，可以证明AG⊥BE．‎ 过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，‎ 与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，‎ 可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，‎ ‎∴∠BHO=45°．‎ 考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质 ‎3．【2016广东省惠州市惠阳区一模】如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．‎ ‎（1）求证：∠DAF=∠ABO；‎ ‎（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（1）连接AO，如图1．‎ ‎∵AF与⊙O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∴∠DAB=90°，‎ ‎∴∠FAO=∠DAB=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠BAO．‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA，‎ ‎∴∠DAF=∠ABO；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2．‎ ‎∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=，‎ ‎∴tanB=，tanD=，‎ ‎∴BE=2IE，DE=2EC．‎ 又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，‎ ‎∴∠FIA=∠FAI，‎ ‎∴FI=FA，‎ ‎∴DI=2AF=BC，‎ ‎∴DE﹣IE=BE+EC，‎ ‎∴2EC﹣IE=2IE+EC，‎ ‎∴EC=3IE=BE．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，‎ ‎∴△AON∽△GOA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴OG=，‎ ‎∴CG=OG﹣OC=．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 考点：1、圆的综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理；4、相似三角形的判定与性质；5、锐角三角函数的定义 ‎4．【2016广东省广州市海珠区一模】如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a=0的两个实数根．‎ ‎（1）求弦AB的长度；‎ ‎（2）计算；‎ ‎（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．‎ ‎【答案】（1）2（2）（3）、、‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）过点C作OC⊥AB于点C，‎ ‎∵OA=AB=OB=2，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴AC=AB=1‎ 在Rt△ACO中，‎ 由勾股定理可得：OC=‎ ‎∴S△AOB=ABOC=×2×=‎ ‎③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称，‎ ‎∴∠P3OP2=60°，‎ ‎∴此时P经过的弧长为： ，‎ 综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是、、．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 考点：一元二次方程与圆的综合知识 ‎5．【2016广东省广州市海珠区一模】已知正方形ABCD和正方形CEFG，连结AF交BC于点O，点P是AF的中点，过点P作PH⊥DG于H，CD=2，CG=1．‎ ‎（1）如图1，点D、C、G在同一直线上，点E在BC边上，求PH的长；‎ ‎（2）把正方形CEFG绕着点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）‎ ‎①如图2，当点E落在AF上时，求CO的长；‎ ‎②如图3，当DG=时，求PH的长．‎ ‎【答案】（1）（2）①②‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先判断出四边形APGF是梯形，再判断出PH是梯形的中位线，得到PH=（FG+AD）；‎ ‎（2）①先判断出△COE∽△AOB，得到AO是CO的2倍，设出CO，表示出BO，AO，再用勾股定理计算，②先找出辅助线，再判断出△ARD≌△DSC，△CSG≌△GTF，求出AR+FT，最后用梯形中位线即可．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 试题解析：（1）PH⊥CD，AD⊥CD，‎ ‎∴PH∥AD∥FG，‎ ‎∵点P是AF的中点，‎ ‎∴PH是梯形APGF的中位线，‎ ‎∴PH=（FG+AD）=，‎ ‎②如图3，‎ 分别过点A，C，F作直线DG的垂线，垂足分别为R，S，T，‎ ‎∵∠ADR+∠CDS=90°，∠CDS+∠DCS=90°，‎ ‎∴∠ADR=∠DCS，‎ ‎∵∠ADR=∠CSD=90°，‎ ‎∵AD=CD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 考点：四边形综合题 ‎6．【2016广东省广州市增城市一模】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．‎ ‎（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；‎ ‎（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）存在（3）不成立 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；‎ ‎（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；‎ ‎（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设AM=x，则，‎ 整理得：x2﹣bx+a2=0，‎ ‎∵b＞2a，a＞0，b＞0，‎ ‎∴△=b2﹣4a2＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，‎ ‎∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，‎ ‎（3）不成立．‎ 理由：若∠BMC=90°，‎ 由（2）可知x2﹣bx+a2=0，‎ ‎∵b＜2a，a＞0，b＞0，‎ ‎∴△=b2﹣4a2＜0，‎ ‎∴方程没有实数根，‎ ‎∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．‎ 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费