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各地解析分类汇编:直线、圆、圆锥曲线
1.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知两条直线和互相平行，则等于（ ）
A.1或-3 B.-1或3 C.1或3 D.-1或3
【答案】A
【解析】因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A.
2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（ ）
A.3 B. C. D.2
【答案】D
【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以，选D.
3.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】一已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为
A． B． C． D．
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【答案】B
【解析】直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B.
4.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）已知长方形ABCD，，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
【答案】解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是
则 2分
.
∴椭圆的标准方程是. ……………………4分
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.……5分
设M，N两点的坐标分别为.
联立方程：
消去整理得，
有 ………………7分
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若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，…………8分
所以，，
即
所以，
即， ……………………9分
得. ……………………10分
所以直线的方程为，或.………………11分
所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。…12分
圆锥曲线
1【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为( )
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】因为椭圆的焦距是4，所以又准线为，所以焦点在轴且，解得，所以，所以椭圆的方程为，选C.
2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。因为点到
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轴的距离为，所以到准线的距离为，又,所以，焦点到直线的距离，而，所以，选D.
3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】B
【解析】画图可知选B. ①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②=，在 x= 和 x=﹣ 处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．
③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为 B．
4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有 ，即，所以，解得，选C.
5【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在抛物线上取横坐标为
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的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：两点坐标为，两点连线的斜率k=
对于，，
∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1
在抛物线上的切点为，切线方程为
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即
解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为顶点坐标为，故选A．
6【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为,半径，双曲线的渐近线为，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，所以，，即，所以，选A.
7【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
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A.（0， B.（） C.（0，） D.（，1）
【答案】D
【解析】根据正弦定理得，所以由可得，即，所以，又，即，因为，(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以，即，所以，即，所以，解得，即，选D.
8【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为，选B
9【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
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【解析】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=
∴双曲线渐进线方程为，即。故选D.
10【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 ．
【答案】
【解析】椭圆的，，所以。因为，所以，所以。所以,所以。
11【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则= .
【答案】
【解析】因为焦点在轴上。所以，所以。椭圆的离心率为，所以，解得。
12【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当时，的最小值是 。
【答案】
【解析】当时，，所以，即，因为
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，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线，由抛物线的定义可知,当，三点共线时，最小，此时为，又焦点坐标为,所以，即的最小值为，所以的最小值为。
13【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】过椭圆左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为
【答案】
【解析】如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：，
∵FA=2FB， ∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC﹣BD=…②
①、②比较，可得AB=AC，
又∵ ∴ ，故所求的离心率为．
14【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图4，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B
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分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为 。
【答案】
【解析】由图知，，整理得，即，解得，故.
15.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分分）
已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点． ①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．
【答案】解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分
。解得，则椭圆方程为 ……………4分
（Ⅱ）（1）将代入中得
……………………………………………………6分
………………………………………… …………………7分
因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分
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（2）由（1）知，
所以 ……………11分
………………………………………12分
16.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点
（1）写出抛物线的标准方程； （2）若，求直线的方程；
（3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.
【答案】解：（1）(2)设
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（3）
椭圆设为 消元整
17.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由
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【答案】
因为，所以四边形OANB为平行四边形，
假设存在矩形OANB，则
即，
所以， …………10分
设N（x0，y0），由，得
，即N点在直线，
所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为
18.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）
设抛物线C的方程为x2 =4y，M为直线l：y=－m(m>0)上任意一点，过点M作抛物线C的两
条切线MA，MB，切点分别为A,B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
(Ⅱ)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA ⊥MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由，
【答案】解：（Ⅰ）当M的坐标为时，
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设过M点的切线方程为，代入，整理得，①
令，解得，
代入方程①得，故得，.
因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，
从而过三点的圆的标准方程为．
易知此圆与直线l：y=-1相切. ………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）设切点分别为、，直线l上的点为M，
过抛物线上点的切线方程为，因为， ，
从而过抛物线上点的切线方程为，又切线过点，
所以得，即.
同理可得过点的切线方程为，………………………（8分）
因为，且是方程的两实根，
从而，
所以，
当，即时，
直线上任意一点M均有MA⊥MB，…………………………………………………（10分）
当，即m≠1时，MA与MB不垂直.
综上所述，当m =1时，直线上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l
上不存在满足条件的点M.……………………………………………………………（12分）
19.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分）
如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。
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（1） 求实数b的值；
（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【答案】（I）由得 ()
因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分
（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为………..12分
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