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单元滚动检测卷(七)
【测试范围：第十单元 时间：100分钟 分值：100分】
一、选择题(每题5分，共30分)
1．若＝，则的值为 ( A )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵＝，∴a＝b，∴＝＝.
图1
2．如图1，每个小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)与图1中△ABC相似的是( B )
【解析】 已知给出的三角形的各边AB，CB，AC分别为，2，，只有选项B的各边分别为1，，与它的各边对应成比例．故选B.
图2
3．如图2，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.能够单独判定△ABC∽△ACD的条件的个数为 ( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 有3个．①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中两组对应边的比相等，∠A不是对应边的夹角，故不能判定；④可以根据两组对应边的比相等且对应边的夹角相等的两个三角形相似来判定．故选C.
4．如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，
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则△ABC与△DCA的面积比为 ( C )
图3
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D.∶
5．[2016·哈尔滨]如图4，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是 ( A )
图4
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
【解析】 A．∵DE∥BC，∴＝.故正确；B.∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝＝.故错误；
C．∵DE∥BC，∴＝.故错误；D.∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴＝.故错误．故选A.
图5
6．[2016·宁波模拟]如图5，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD＝5，BD＝2，则DE的长为 ( D )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠DBC＝∠BAD，∴△ABD∽△BED，∴＝，∴DE＝＝.故选D.
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二、填空题(每题5分，共30分)
7．[2017·山西模拟]《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：丈和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为__45__尺．
【解析】 设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，
∴＝，解得x＝45，即竹竿的长为45尺．
8．如图6，AD＝DF＝FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝__1∶3∶5__．
【解析】 ∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.
图6 图7
9．如图7，△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为__∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝(答案不唯一，合理即可)__．
【解析】 ∵∠B＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，同理，可由∠ADE＝∠C或＝得出△ABC∽△AED.
图8
10．如图8，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连结AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝__4∶3__．
【解析】
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相似三角形对应边的比等于面积比的算术平方根．由同弧所对的圆周角相等，易知∠B＝∠C，∠D＝∠A，∴△DBP∽△ACP，∴＝＝，∴＝＝.
11．如图9，△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第四象限，且AO∶BO＝1∶.若点A(x0，y0)的坐标满足y0＝，则点B(x，y)的坐标x，y所满足的关系式为__y＝－__．
图9 第11题答图
【解析】 设点B在反比例函数y＝(k＜0)上，如答图，分别过点A，B作AC，BD分别垂直y轴于点C，D，∵∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC＋∠BOD＝90°，∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，∴△AOC∽△OBD，
∴＝＝＝，∵点A(x0，y0)的坐标x0，y0满足y0＝，∴S△AOC＝，∴S△BOD＝1，∴k＝－2，∴点B(x，y)的坐标x，y所满足的关系式为
y＝－.
12．[2017·杭州一模]如图10，△ABC是定圆O的内接三角形，AD为△ABC的高线，AE平分∠BAC交⊙O于E，交BC于G，连结OE交BC于F，连结OA，在下列结论中，①CE＝2EF；②△ABG∽△AEC；③∠BAO＝∠DAC；④为常量．其中正确的有__②③④__．
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图10 第12题答图
【解析】 ∵∠BCE的度数不一定为30°，∴Rt△CEF中，CE＝2EF不一定成立，故①错误；∵AE平分∠BAC，∴∠BAG＝∠EAC，又∵∠ABG＝∠AEC，∴△ABG∽△AEC，故②正确；如答图所示，延长AO交⊙O于点H，连结BH，∵AH是⊙O直径，AD⊥BC，∴∠ABH＝90°，∠ADC＝90°，∴∠H＋∠BAH＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，∵∠H＝∠ACD，∴∠BAH＝∠DAC，故③正确；∵∠BAH＝∠DAC，∠ABH＝∠ADC，∴△ABH∽△ADC, ∴＝，即AH＝，又∵AH为常量，∴ 为常量，故④正确．综上，正确的有②③④.
三、解答题(共40分)
图11
13．(8分)如图11，△ABC∽△DAB，AB＝8，BC＝12，求AD的长．
解：∵△ABC∽△DAB，
∴＝.
又∵AB＝8，BC＝12，
∴＝，∴AD＝.
图12
14．(10分)如图12，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD＝AC，EC交AD于点F.求证：
(1)△ABC∽△FCD；
(2)FC＝3EF.
证明：(1)∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACB，
∵BD＝CD，DE⊥BC，
∴∠B＝∠ECB，∴△ABC∽△FCD；
(2)∵△ABC∽△FCD，∴＝，
∵D是BC边的中点，
∴BC＝2CD，∴＝，∴AD＝AC＝2FD，
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∵∠ACD＝∠ADC，∠B＝∠FCD，∠ACF＋∠FCD＝∠ACD，∠EAD＋∠B＝∠ADC，
∴∠EAD＝∠ACE，∴△EAF∽△ECA，
∴＝＝＝，∴EC＝2EA＝4EF，
∴FC＝3EF.
15．(10分)[2017·海曙区模拟]如图13，C为⊙O上的一点，P为直径AB延长线上的一点，BH⊥CP于H，交⊙O于D，∠PBH＝2∠PAC.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若sinP＝，求的值．
图13 第15题答图
解：(1)证明：如答图，连结OC，
∵OA＝OC，∴∠PAC＝∠OCA，
∴∠COP＝∠PAC＋∠OCA＝2∠PAC，
∵∠PBH＝2∠PAC，
∴∠COP＝∠PBH，∴OC∥BH，
∵BH⊥CP，∴OC⊥CP，∴PC是⊙O的切线；
(2)如答图，作OG⊥DH于点G.设⊙O的半径为2a，在Rt△OCP中，sinP＝，OC⊥CP，
∴OP＝3a，∴PB＝OP－OB＝a，
∵OG⊥BD，∴BG＝BD，△OBG∽△PBH，
∴＝＝，∴＝.
16．(12分)[2017·宁波一模]如图14，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA.
(1)求证：BC＝CD；
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(2)分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．
图14 第16题答图
解：(1)证明：∵DC2＝CE·CA，
∴＝，而∠ACD＝∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD；
(2)如答图，连结OC，设⊙O的半径为r，
∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，
∴OC∥AD，∴＝＝＝2，
又∵CD＝2，∴PC＝2CD＝4，
∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，
∴△PCB∽△PAD，∴＝，即＝，
∴r＝4(负值舍去)，即⊙O的半径为4.
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