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2013中考总结复习冲刺练：圆中分类讨论问题归类举例
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。
一、点和圆的位置
凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。
例1.过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。
解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种：
（1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则
由相交弦定理得：
所以（负值已舍去）
（2）点A在⊙O外，如图2，
此时
由割线定理得：
所以（负值已舍去）
故⊙O的半径R为或6。
二、点与弦的相对位置
例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。
解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°
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（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°
三、弦所对的圆周角
例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
解：弦所对的圆周角有两种情况：
（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°；
（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。
故应填60°或120°。
四、平行弦与圆心的位置
例4.在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。
分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。
解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC.
在Rt△OAE中，
在Rt△OCF中，
（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为
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（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为
所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm。
五、圆心与角的位置
例5.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____________。
解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
所以∠BAE＝30°
同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以
∠EAC＝45°，
当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：
所以∠BAC为75°或15°
六、点在弧上的位置
例6.如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。
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图8
解：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°
当动点P在上时，∠OPB＝∠OAB＝45°
当动点P在上时，∠OPB＝180°－45°＝135°
故∠OPB为45°或135°。
七、相交两圆的圆心与公共弦的位置
例7.已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。
分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。
解：如图9、图10，
在中，
在中，
（1）当圆心在公共弦AB的同侧时，如图9
（2）当圆心在公共弦AB的异侧时，如图10
八、直线与圆的位置
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例8.两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。
分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。
解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切⊙于A，切⊙于B，EF切⊙于E，切⊙于F，AB⊥EF于D。
由切线定理，得：
所以
故有
（2）当内公切线垂直时，如图12，作，交点为E，则
（3）当外公切线垂直时，如图13，作于G，则
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