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黄石市2013年初中数学竞赛
姓名：
一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
1．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该项任务后才能执行下一项任务．现有三项任务U、V、W的时间分别为10s，120s和900s，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．则下面四种执行顺序中使三项任务相对等待时间之和最小的执行是（ ）
A．U、V、W B．V、W、U C．W、U、V D．U、W、V
A
C
D
B
2．如图1，C、D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则AB=（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
（图1）
3．如图2，菱形纸片ABCD中，，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为（ ）
A． B B． C． D．
（图2）
4．若方程x2-mx+n+1=0的两个实根均为正整数，则m2+n2为（ ）
A．合数 B．质数 C．完 全平方数 D．偶数
5．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2．则a的取值范围是（ ）
A． ＜a ＜ B．a＞ C．a ＜ D．＜a＜0
二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
6．一部自动扶手电梯自下向上匀速运动，丽丽、美美两人同时分别从电梯的下端、上端相向匀速而行，丽丽走了12m后与美美相遇，丽丽、美美两人离开电梯时分别在电梯上走了28m、63m．则自动扶手电梯露在外面部分的长度为 m．
7．如图3，已知直线与抛物线交于A、B两点，点P在直线AB上方的抛物线上运动．当△PAB的面积最大时，点P的坐标为 ．
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x
y
M
O
D
A
B
C
y
O
B
P
A
x
（图3）
（图4）
8．如图4，已知半径为1的圆的圆心为M（0，1），点B（0，2），A是x轴负半轴上的一点，D是OA的中点，AB交⊙M于点C，若四边形BCDM为平行四边形，则sin∠ABD= ．
9．心理学家研究发现：一般情形下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持为理想的稳定状态，随后学生的汪意力开始分散．经过实验分析，知学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：
有一道数学竞赛题需要讲解16.5分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低值达到最大．那么，教师经过适当安排，应在上课的第 分钟开始讲解这道题．
10．设方程组的正实数解为（x，y，z），则x+y+z= ．
三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．设二次函数（a、b、c为整数且a≠0），对一切实数x恒有x≤y≤．求二次函数的解析式．
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12．（1）探索发现：如图5，分别以△ABC两边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE、正方形ACFG．设H、K、M分别是BE、CG、BC的中点．猜想线段MH与MK的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
（图5）
（图6）
A
B
C
M
H
E
G
F
K
D
A
B
C
D
R
S
P
Q
（2）拓展运用：如图6，以凸边形ABCD的每一边向外作正方形，S、P、Q、R分别是各正方形的中心．求证：SQ与PR相等且垂直．
13．
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给出12个球，其中有且仅有一个球与其他11个球重量不相等．问：如何用无砝码的天平称三次，找出这个球？
14．已知关于x的一元二次方程……①的两个整数根恰好比方程
……②的两根都大1．求的值．
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黄石市2013年初中数学竞赛参考答案
一、选择题
1．A．
顺序A三项任务相对等待时间之和为+＜6 ；
顺序B三项任务相对等待时间之和为＞＞90 ；
顺序C三项任务相对等待时间之和为＞＞90 ；
顺序D三项任务相对等待时间之和为＞＞8 ；比较知，最小．
2．B．
设AC=， CD= ， DB=. 则=29(1≤b≤6)
=(舍去）, 故．
3．A．
设AB=1，CF= .根据折叠的性质得，
4．A．
设方程的两正整数根分别为，则，。
故
因＞1 ，＞1，所以， 必为合数．
5．D ．
易知，将原方程变形为，记
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，则此抛物线开口向上．因＜1＜，所以，当时，＜0 ，
即 ＜0 ＜＜0 .
二、填空题
6．48ｍ 设自动扶手电梯露在外面的部分长度为．由题意得
：．解得．因此，所求长度为48ｍ．
y
O
B
P
A
x
M
7．
如图7，作轴交直线AB于点M，
设 ， 则 ．
（图7）
故 ．
由联立求得点A、B的横坐标分别为－6、4，
而 ，
故当，此时，．
x
y
M
O
D
A
B
C
E
8．
如图8，联结．
则∠
故四边形为平形四边形
∥
（图8）
．
作，则，而，故．
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9．7.5
y
x/min
100
60
10
40
20
0
．
设应在上课后第(0≤≤10)分钟开始讲解这道题，则
（图9）
因此, 教师应在上课后7.5分钟开始讲解这道题.
10．6
令，则
当，时，，故
三、解答题
11．由题设,知对一切实数有≤≤ .
当≤≤.
故
对一切实数均成立.
由式①得＞0,且≤0 .
当, 时,式②化为≥0,与题设矛盾.
当时,由式②得
K
E
G
A
H
D
F
B
M
C
,所以二次函数的解析式为
12．（1）猜想MH⊥MK , 且MH=MK
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（图10）
证明：如图10, 易知△AEC逆时针旋转
便得到了△ABG .所以 , EC⊥BG , 且 EC=BG．
A
R
S
D
Q
P
C
B
M
又Ｈ、Ｋ、M分别是BＥ、CＧ、BC的中点,
则 .
因此, MH⊥MK , 且MH=MK .
（2）证明：如图11, 作也满足条件的图形,
（图11）
取BD的中点M,联结MＰ、MＱ、MＲ、MＳ.
由（1）的结论知MP和MQ、MR和MS分别垂直且相等,则△QMS顺时针旋转后便可得△PMR.从而,QS与PR垂直且相等.
13．把要找的球定义为“坏球”,其余11个球为“好球”.
将12个球均分成三组,每组4个,同时将12个球编号为①～⑿.
第一次称①②③④和⑤⑥⑦⑧,若平衡,则坏球在⑨⑩⑾⑿中,同时,知①～⑧号球均为好球,第二次用①②和⑨⑩称,若不平衡,则坏球为⑨或⑩;若平衡,则坏球为⑾或⑿,于是,再称一次就可找出坏球.
第一次称①②③④(左边)和⑤⑥⑦⑧(右边),若不平衡,不妨设左边重.
第二次称①⑨⑩⑾(左边)和⑤②③④(右边),此时天平会出现三种情形.
⑴若依然是左边重,则坏球必在①或⑤中；
⑵若左边轻,则坏球必在②③④中且坏球比好球重；
⑶若天平平衡,则坏球必然是⑥⑦⑧之一,且知坏球比好球轻,第三次称就好办了.
如知②③④中有一坏球,且坏球轻,第三次就称②与③,哪个轻哪个就是坏球；若②与③一样重,则坏球为④.其他情形,类似解决.
14．解 设是方程①的两个整数根,则是方程②的两个整数根.设.显然, .
设.则
又,于是,
故
；
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．综上，．
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