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28.2 解直角三角形（二）
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=，则BD的长是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
图28－2－2－1 图28－2－2－２
3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）
二、课中强化(10分钟训练)
1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A. B. C. D.
2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.
3.如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.
图28－2－2－3
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4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（的近似值取1.7，结果保留1位小数）
图28－2－2－４
5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）
图28－2－2－５
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )
A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)
图28－2－2－6 图28－2－2－7
2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.
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小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米.
（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，≈1.732）
图28－2－2－8
4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.
图28－2－2－9
5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05）
图28－2－2－10
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6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:≈1.732)
图28－2－2－11
7.如图28－2－2－12，武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5米（BC所在地面为水平面）.
（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01米）
（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01米）
图28－2－2－12
8.如图28－2－2－13,某海关缉私艇巡逻到达A处时接到情报，在A处北偏西60°方向的B处发现一艘可疑船只正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西45°的方向快速前进，经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，求该艇的速度.
(结果保留整数,=2.449,=1.732,=1.414)
图28－2－2－13
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参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：AC=BC·tanB=6.
答案：D
2.如图28－2－2－1，在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上，CD=3，AD=BC,且cos∠ADC=，则BD的长是( )
图28－2－2－1
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：求BD需求BC,而BC=AD,在Rt△ADC中,已知一角一边,可求出AD.
在Rt△ADC中，CD=3，且cos∠ADC=，∴AD=5,∴BC=AD=5.∴BD=2.
答案：C
3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示）
图28－2－2－２
解析：在Rt△ABD中,∠A=60°，CD=5，∴AC=,AD=.
答案:
二、课中强化(10分钟训练)
1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
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A. B. C. D.
解析：根据构成三角形的条件，该等腰三角形的三边长为9、9、4，∴其底角的余弦值为.
答案：C
2.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________.
解析：搞清观察方向，可以借助示意图来解决.
答案:南偏西15°或西偏南75°
3.如图28－2－2－3，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC长及tanC.
图28－2－2－3
分析：作BC边上的高AD，构造直角三角形.在Rt△ADB中已知一角一边，可求得AD、BD，在Rt△ADC中由勾股定理求出CD.
解：过点A作AD⊥BC于D,
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∵sinB=,
∴AD=AB·sinB=4·sin45°=4×=,
∴BD=.
在Rt△ADC中，AC=6,
由勾股定理得DC=,
∴BC=BD+DC=,
tanC=.
4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D
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点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（的近似值取1.7，结果保留1位小数）
图28－2－2－４
解：设EF为x米，
在Rt△AEF中,∠AFE=60°，
∴AE=EF·tan60°=x，
在Rt△AGE中,∠AGE=45°，
∴AE=GE·tan45°=GE=8+x.
∴x=8+x.解之,得x=4+4.
∴AE=12+4≈18.8.
∴AB=20.4(米).
答:旗杆AB高20.4米.
5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号）
图28－2－2－５
解Rt△AEB与Rt△AEB′,得AE与BE、EB′的关系，解关于x的方程可求得答案.
解：设树高BC=x(m)，过A作AE⊥BC于E，
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在Rt△ABE中，BE=x－2,∠BAE=30°,cot∠BAE=,
∴AE=BE·cot∠BAE=(x－2)·= (x－2).
∵∠B′AE=45°,AE⊥BC.
∴B′E=AE=(x－2).
又∵B′E=B′C+EC=BC+AD=x+2,
∴(x－2)=x+2.∴x=(4+2)(m).
答：树高BC为(4+2) m.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( )
图28－2－2－6
A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα)
解析:过D点作AB的垂线交AB于E点，在
Rt△ADE中,∠ADE=α,DE=a,
∴AE=a·tanα.
在Rt△ABC中,∠ACB=β,BC=a,
∴AB=a·tanβ.
∴CD=AB－AE=a·tanβ－a·tanα.
答案:D
2.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图28－2－2－7），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,
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约为________________米.
（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
图28－2－2－7
解析:AB=BC·tanC=12(米).
答案:12
3.某片绿地的形状如图28－2－2－8所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200 m，CD=100 m，求AD、BC的长.（精确到1 m，≈1.732）
图28－2－2－8
解：延长AD，交BC的延长线于点E，
在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200 m，
∴BE=AB·tanA= (m).
AE==400(m).
在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100 m，
∴DE=CD·cot∠CED=(m),
CE==200m.
∴AD=AE－DE=400－≈227(m),
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BC=BE－CE=－200≈146(m).
4.如图28－2－2－9，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.
图28－2－2－9
解：作三角形的高AD.
在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=，
∴BD=，AB=.
∴CB=BD+CD=+.
5.如图28－2－2－10，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别是45°和60°.求塔高与楼高.（精确到0.01米）（参考数据=1.414 21，=1.732 05）
图28－2－2－10
解：在Rt△ABD中,BD=80米，∠BDA=60°，
∴AB=BD·tan60°=803≈138.56（米）.
Rt△AEC中,EC=BD=80,∠ACE=45°，
∴AE=CE=80(米).
∴CD=AB－AE≈58.56（米）.
答:塔高与楼高分别为138.56米、58.56米.
6.如图28－2－2－11,某船向正东方向航行,在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向.已知该岛周围6海里内有暗礁,若该船继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据:≈1.732)
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图28－2－2－11
解:继续向东行驶,有触礁的危险.
过点C作CD垂直AB的延长线于D,
∵∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠BCD=30°.
设CD的长为x,则tan∠CBD=,
∴BD=x.
∴tan∠CAB=tan30°=.
∴x=.
∴x≈5.2
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