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第七讲 一元二次方程
1．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( D )
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．(2017温州中考)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( D )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
3．(2017上海中考)下列方程中，没有实数根的是( D )
A．x2－2x＝0 B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋1＝0 D. x2－2x＋2＝0
4．方程x2－9x＋18＝0的两根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( C )
A．12 B．12或15
C．15 D．不能确定
5．(2017凉山中考)一元二次方程3x2－1＝2x＋5两实根的和与积分别是( B )
A.，－2 B.，－2
C．－，2 D．－，2
6．(2017威海中考)若1－是方程x2－2x＋c＝0的一个根，则c的值为( A )
A．－2 B．4－2 C．3－ D．1＋
7．(2017凉山中考)若关于x的方程x2＋2x－3＝0与＝有一个解相同，则a的值为( C )
A．1 B．1或－3 C．－1 D．－1或3
8．(2017无锡中考)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( C )
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
9．(2017绵阳中考)关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为( C )
A．－8 B．8 C．16 D．－16
10．(2017咸宁中考)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
11．(2017菏泽中考)关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是__0__．
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12．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意列出方程为__100(1＋x)2＝121__．
13．(2017北京中考)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于1，求k的取值范围.
解：(1)∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，∴方程总有两个实数根；
(2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，
∴x1＝2，x2＝k＋1.∵方程有一根小于1，
∴k＋1＜1，解得k＜0，
∴k的取值范围为k＜0.
14．(2017鄂州中考)关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2 ，存不存在这样的实数k，使－＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0，
解得k＞；
(2) 存在．理由如下：∵x1＋x2＝2k－1，
x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0，
∴将－＝两边平方，得
x－2x2x1＋x＝5，即(x1＋x2)2－4x1x2＝5，
∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5，即4k－11＝5，
解得k＝4.
15．(2017眉山中考)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．
答：此批次蛋糕属于第3档次产品；
(2) 设烘焙店生产的是第x档次的产品．
根据题意，得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080，
整理，得x2－16x＋55＝0，
解得x1＝5，x2＝11(不符合题意，舍去)．
答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．
16．(2017绥化中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0.
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
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(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
解：(1)∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m＋1)2－4(m2－4)＝4m＋17＞0，
解得m＞－.
∴当m＞－时，方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为a，b.
根据题意，得a＋b＝－2m－1，ab＝m2－4，
∵2a，2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(－2m－1)2－2(m2－4)＝2m2＋4m＋9＝52＝25，
解得m＝－4或m＝2.
∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝－2m－1＞0，
∴m＝－4.
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为－4.
17．(2017烟台中考)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
解：(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x.
根据题意，得200×(1－x)2＝162，
解得x1＝0.1＝10%或x2＝1.9(舍去)．
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；
(2)100×＝≈90.91(个)，
∴在A商场实际需要购买的足球个数为91个．
在A商城需要的费用为162×91＝14 742(元)，
在B商城需要的费用为162×100×＝14 580(元)．
∵14 742＞14 580.
∴去B商场购买足球更优惠．
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18．(乐山中考)若t为实数，关于x的方程x2＋4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a，b，则代数式(a2－1)(b2－1)的最小值是( A )
A．－15 B．－16 C．15 D．16
19．已知整数k＜5，若等腰三角形△ABC的边长均满足于x的方程x2－3x＋8＝0，则△ABC的周长是__6或12或10__．
20．已知关于x的方程x2－6x－k2＝0(k为常数)，设x1，x2为方程的两个实数根，且x1＋2x2＝14，则k＝__±4__．
21．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根．
(1) 求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2) k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
(3) k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝[－(2k＋3)]2－4×1×(k2＋3k＋2)＝1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2) 根据根与系数的关系：AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k2＋3k＋2，则AB2＋AC2＝(AB＋AC)2－2AB·AC＝25，
则(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25，
解得k＝2或k＝－5.
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和x1＋x2＝2k＋3＞0且两根的积x1x2＝3k＋2＞0，
解得k＞－，∴k＝2；
(3) 若AB＝AC＝5时，5是方程
x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的实数根，
把x＝5代入原方程，解得k＝3或k＝4.
由(1)知，无论k为何值时，Δ＞0，
∴AB≠AC，∴k只能取3或4.
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
AB＋AC＝2k＋3，
∴当k＝3时，AB＋BC＝9，
则周长是9＋5＝14；
当k＝4时，AB＋BC＝8＋3＝11，
则周长是11＋5＝16.
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