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第九讲 一次函数及其应用
第1课时 一次函数
1．下列说法中不正确的是( D )
A．函数y＝2x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝3x－1的图象不经过第二象限
D．函数y＝－的值随x的值的增大而增大
2．(2017绥化中考)在同一平面直角坐标系中，直线y＝4x＋1与直线y＝－x＋b的交点不可能在( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2017呼和浩特中考)一次函数y＝kx＋b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2017赤峰中考)将一次函数y＝2x－3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的表达式为( B )
A．y＝2x－5 B．y＝2x＋5
C．y＝2x＋8 D．y＝2x－8
5．若式子＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象可能是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
7．(2017福建中考)若直线y＝kx＋k＋1经过点(m，n＋3)和(m＋1，2n－1)，且0＜k＜2，则n的值可以是( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．(2017陕西中考)如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与l2：y＝kx＋b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围是( D )
A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0
C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
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,(第8题图)) ,(第9题图))
9．(2017菏泽中考)如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( D )
A．x＞2 B．x＜2
C．x＞－1 D．x＜－1
10．若点M(k－1，k＋1)关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y＝(k－1)x＋k的图象不经过第__一__象限．
11．如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(3，5)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是__x＞3__．
12．已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为__(－4，1)__．
13．(2017台州中考)如图，直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝mx＋4相交于点P(1，b)．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
解：(1)∵点P(1，b)在直线l1：y＝2x＋1上，
∴b＝2×1＋1＝3.
∵点P(1，3)在直线l2：y＝mx＋4上，
∴3＝m＋4，∴m＝－1；
(2)当x＝a时，yC＝2a＋1；当x＝a时，yD＝4－a.∵CD＝2，∴|2a＋1－(4－a)|＝2，解得a＝或a＝.
14．如图，直线y＝x＋与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求∠ABO的度数；
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(2)过A的直线l交x轴正半轴于C，AB＝AC，求直线l的函数表达式．
解：(1)对于直线y＝x＋，
令x＝0，则y＝，
令y＝0，则x＝－1，
∴点A的坐标为(0，)，点B的坐标为(－1，0)，
则AO＝，BO＝1，在Rt△ABO中，
∵tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°；
(2)在△ABC中，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO为BC的中垂线，即BO＝CO，
∴C点的坐标为(1，0)．
设直线l的表达式为y＝kx＋b(k，b为常数)，
∴解得
即直线l函数表达式为y＝－x＋.
15．如图，一次函数y＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连结OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的表达式．
解：(1)∵点A(4，1)在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝4×1＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝；
(2)∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设点B的坐标为(n，)．
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将y＝kx＋b代入y＝中，
得kx＋b＝，
整理，得kx2＋bx－4＝0，
∴4n＝－，
即nk＝－1①.
令y＝kx＋b中x＝0，
则y＝b，即点C的坐标为(0，b)，
∴S△BOC＝bn＝3，∴bn＝6②.
∵点A(4，1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，
∴1＝4k＋b③.
联立①②③成方程组，得
解得
∴该一次函数的表达式为y＝－x＋3.
16．王杰同学在解决问题“已知A，B两点的坐标为A(3，－2)，B(6，－5)，求直线AB关于x轴的对称直线A′B′的表达式”时，解法如下：先是建立平面直角坐标系(如图)，标出A，B两点，并利用轴对称性质求出A′，B′的坐标分别为A′(3，2)，B′(6，5)；然后设直线A′B′的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，并将A′(3，2)，B′(6，5)代入y＝kx＋b中，得方程组解得最后求得直线A′B′的表达式为y＝x－1.
则在解题过程中他运用到的数学思想是( D )
A．分类讨论与转化思想
B．分类讨论与方程思想
C．数形结合与整体思想
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D．数形结合与方程思想
17．点P(x，y)在第一象限内，且x＋y＝6，点A的坐标为(4，0)．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
18．如图，直线y＝x＋4与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，求点P的坐标．
解：作点D关于x轴的对称点D′，连结CD′交x轴于点P，此时PC＋PD值最小．
在y＝x＋4中，令x＝0，则y＝4.
令y＝0，则x＋4＝0，解得x＝－6，
∴A(－6，0)B(0，4)．
∵点C，D分别为线段AB，OB的中点，
∴点C(－3，2)，点D(0，2)．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为(0，－2)．
设直线CD′的表达式为y＝kx＋b.
∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－2)，
∴解得
∴直线CD′的表达式为y＝－x－2.
令y＝－x－2中y＝0，则0＝－x－2，
解得x＝－，
∴点P的坐标为.
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19．(2017鹤岗中考)如图，矩形AOCB的顶点A，C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA，OC的长度满足方程|x－15|＋＝0(OA＞OC)，直线y＝kx＋b分别与x轴，y轴交于M，N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD＝.
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BN的表达式；
(3)将直线BN以每秒1个单位的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t(0＜t≤13)的函数关系式．
解：(1)∵|x－15|＋＝0，
∴x＝15，y＝13，
∴OA＝BC＝15，AB＝OC＝13，
∴B(15，13)；
(2)过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，
由折叠的性质可知BD＝BC＝15，
∠BDN＝∠BCN＝90°.
∵tan∠CBD＝，∴＝.
又∵BF2＋DF2＝BD2＝152，
解得BF＝12，DF＝9，
∴CF＝OE＝15－12＝3，
DE＝EF－DF＝13－9＝4.
∵∠CND＋∠CBD＝360°－90°－90°＝180°，
又∵∠ONM＋∠CND＝180°，
∴∠ONM＝∠CBD，∴＝.
∵DE∥ON，∴＝＝，
又∵OE＝3，
∴＝，解得OM＝6，
∴ON＝8，即N(0，8)．
把N，B的坐标代入y＝kx＋b可得，
解得
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∴直线BN的表达式为y＝x＋8；
(3)设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如答图①，
,答图①) ,答图②)
由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，
且NN′＝t，
∴S＝NN′·OA＝15t；
当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，
设直线B′N′交x轴于点G，如答图②，
∵NN′＝t，
∴可设直线B′N′表达式为y＝x＋8－t，
令y＝0，可得x＝3t－24，
∴OG＝24.
∵ON＝8，NN′＝t，
∴ON′＝t－8，
∴S＝S四边形BNN′B′－S△OGN′＝15t－(t－8)(3t－24)
＝－t2＋39t－96.
综上可知S与t的函数关系式为
S＝
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第2课时 一次函数的实际应用
1．在平面直角坐标系中，过点(－2，3)的直线l经过一、二、三象限，若点(0，a)，(－1，b)，(c，－1)都在直线l上，则下列判断正确的是( D )
A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜－2
2．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为(2，2)，点P(m，n)在直线y＝－x＋2上运动，设△APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是( B )
,A) ,B) ,C) ,D)
3．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是( C )
,图①) ,图②)
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
4．(2017乌鲁木齐中考)一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象，如图所示，则不等式kx＋b＞0的解集是( A )
A．x＜2 B．x＜0 C．x＞0 D．x＞2
,(第4题图)) ,(第5题图))
5．(2017株洲中考)如图所示，直线y＝x＋与x轴，y轴分别交于点A，B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为__π__．
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6．已知一个函数，当x＞0时， 函数值y随着x的增大而减小， 请写出这个函数关系式__y＝－x＋2(答案不唯一)__．(写出一个即可)
7．(2017扬州中考)同一温度的华氏度数y(°F)与摄氏度数x(℃)之间的函数表达式是y＝x＋32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为__－40__℃.
8．(2017随州中考)在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2 h时，两车相遇；②乙车出发1.5 h时，两车相距170 km；③乙车出发2 h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40 km.其中正确的是__②③④__．(填写所有正确结论的序号)
9．(2017鹤岗中考)为营造书香家庭，周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书，走了6 min忘带借书证，小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证，姐姐以原来的速度继续向前行走，小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆，小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆．已知单车的速度是步行速度的3倍，
如图是小亮和姐姐距家的路程y(m)与出发的时间x(min)的函数图象，根据图象解答下列问题：
(1)小亮在家停留了______min；
(2)求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y(m)与出发时间x(min)之间的函数关系式；
(3)若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m min，原计划步行到达图书馆的时间为n min，则n－m＝______min.
解：(1)2；
(2)设y＝kx＋b.
∵函数图象过C(10，0)，D(30，3 000)，
∴
解得
∴y＝150x－1 500(10≤x≤30)；
(3)30
10．(2017绥化中考)一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5 h，
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轿车比卡车每小时多行驶60 km，两车到达甲城均停止行驶，两车之间的路程y(km)与轿车行驶时间t(h)的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：
(1)请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；
(2)求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点D的坐标；
(3)请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程s(km)与轿车行驶时间t(h)之间的函数关系式．(不要求写出自变量的取值范围)
解：(1)甲城和乙城之间的路程为180 km.
设卡车的速度为x km/h，则轿车的速度为(x＋60)km/h.
由B(1，0)得，x＋(x＋60)＝180，
解得x＝60，∴x＋60＝120，
∴轿车和卡车的速度分别为120 km/h和60 km/h；
(2)卡车到达甲城需180÷60＝3(h)，
轿车从甲城到乙城需180÷120＝1.5(h)，
3＋0.5－1.5×2＝0.5(h)，
∴轿车在乙城停留了0.5 h，
点D的坐标为(2，120)；
(3)s＝180－120×(t－0.5－0.5)＝－120t＋420.
11．(2017苏州中考)某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知行李质量为20 kg时需付行李费2元，行李质量为50 kg时需付行李费8元．
(1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数表达式；
(2)求旅客最多可免费携带行李的质量．
解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
∴函数表达式为y＝x－2；
(2)当y＝0时，x－2＝0，解得x＝10.
答：旅客最多可免费携带行李10 kg.
12．(2017连云港中考)某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完．直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，
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剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
(2)如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
解：(1)根据题意，得y＝[70x－(20－x)×35]×40＋(20－x)×35×130＝－350x＋63 000；
(2)∵70x≥35(20－x)，解得x≥.
又∵x为正整数，且x≤20，
∴7≤x≤20且x为正整数，
∵－350＜0，
∴y的值随着x的值增大而减小．
∴当x＝7时，y取最大值，
最大值为－350×7＋63 000＝60 550.
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60 550元．
13．(2017江汉中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示．
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
解：(1)y甲＝0.8x；
y乙＝
(2)当0＜x＜2 000时，0.8x＜x，
到甲商店购买更省钱；
当x≥2 000时，
若到甲商店购买更省钱，
则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6 000；
若到乙商店购买更省钱，
则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6 000；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，
则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6 000；
故当购买金额按原价小于6 000元时，
到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于6 000元时，
到乙商店购买更省钱；
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当购买金额按原价等于6 000元时，
到甲、乙两商店购买花钱一样．
14．(2017乌鲁木齐中考)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y(km)与行驶时间x(h)的对应关系如图所示．
(1)甲乙两地相距多远？
(2)求快车和慢车的速度分别是多少？
(3)求出两车相遇后y与x之间的函数关系式；
(4)何时两车相距300 km.
解：(1)由图象得甲乙两地相距600 km；
(2)由题意得慢车总用时10 h，
∴慢车速度为＝60(km/h)；
设快车速度为x km/h.
由图象，得60×4＋4x＝600，解得x＝90，
∴快车速度为90 km/h，慢车速度为60 km/h；
(3)由图象，得＝(h)，60×＝400(km)，
当时间为 h时快车已到达甲地，此时慢车走了400 km，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为
(4)设出发x h后，两车相距300 km.
①当两车没有相遇时，
由题意，得60x＋90x＝600－300，解得x＝2；
②当两车相遇后，
由题意，得60x＋90x＝600＋300，解得x＝6；
∴两车行驶2 h或6 h时，两车相距300 km.
15．小慧和小聪沿图①中的景区公路游览．小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点．上午10：00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：
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(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？
(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
解：(1)小聪骑车从飞瀑出发到宾馆所用时间为：
50÷20＝2.5(h)，
∵上午10：00小聪到达宾馆，
∴小聪上午7点30分从飞瀑出发；
(2)3－2.5＝0.5，∴点G的坐标为(0.5，50)，
设GH的表达式为s＝kt＋b，
把G(0.5，50)，H(3，0)代入，得
解得
∴s＝－20t＋60，当s＝30时，t＝1.5，
∴B点的坐标为(1.5，30)，
点B的实际意义是当小慧出发1.5 h时，小慧与小聪相遇，且离宾馆的路程为30 km；
(3)50÷30＝(h)＝1小时40分钟，
12－＝10，
∴当小慧在D点时，对应的时间点是10：20，
而小聪到达宾馆返回的时间是10：00，
设小聪返回x h后两人相遇．根据题意，得
30x＋30＝50，
解得x＝1，
10＋1＝11，
∴小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他11：00遇见小慧．
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