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二次函数的应用
一、选择题
1、(2013年河北三摸)某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是
A.6s B.4s C.3s D.2s
答案：A
二、解答题
1、(2013年深圳育才二中一摸)如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
则
∴抛物线的解析式为：…………………………2分
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4
∴又OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB …………………………3分
∴∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90° …………………………4分
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径………………………5分
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为……………………6分
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：
设直线，则该直线的解析式可表示为：，
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当直线与抛物线只有一个交点时，可列方程：，且△=0
则
∴直线：．………………8分
由于，长度是定值，则当最大（即点M到直线BC的距离最远）时，的面积最大
所以点M即直线和抛物线的唯一交点，则………………9分
解得：
即 M（2，﹣4）．………………10分
2、(2013年广西南丹中学一摸)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是 ，b＝ ，c＝ ；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
第26题图
【解答】（1）（0，－3），b＝－，c＝－3． 3分
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
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∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t． 4分
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t． 5分
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4． 6分
综合①，②得QH＝｜4－8t｜； 6分
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似． 7分
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝． 8分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）． 9分
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝． 10分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）． 11分
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝． 12分
3、(2013年河北二摸)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，
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A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是 ，b＝ ，c＝ ；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．…………………………………………3分
（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．…4分
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．………………………………………………5分
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．……………………………………………………………………6分
①当H在Q、B之间时，
QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．……………………………………7分
②当H在O、Q之间时，
QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．……………………………………8分
综合①，②得QH＝｜4－8t｜；
（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．
①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．……………………………………………………………………9分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2＋2t－1＝0．
∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．………………………………………10分
②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．
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若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，
∴t＝．…………………………………………………………………………11分
若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，
即t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．………………………………………………………………12分
综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．
4、(2013年河北三摸)已知：如图1，抛物线的顶点为Q，与轴交于A（-1，0）、B(5，0)
（图1）
x
C
y
O
A
B
两点，与轴交于C点.
（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上求一点,使得△的周长最小.
请在图中画出点的位置，并求点的坐标；
（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥ 轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”。这个同学的说法正确吗？请说明理由.
（图2）
E
D
B
A
O
C
x
y
Q
（备用图）
x
C
y
O
A
B
②若与直线交于点.试探究：四边形能否为平行四边形？
若能,请直接写出点的坐标；若不能,请简要说明理由；
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答案：解：(1)将A（-1，0）、B(5，0)分别代入中，
得 ，得 ∴.………………2分
图1
E
D
B
A
O
C
y
Q
P
∵， ∴Q（2 ，9）.……3分
（2）如图1，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.……4分
∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小.
∵点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.
x
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小. ………………5分
设直线BC的解析式为y=k+5,将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴=-+5，∴当=2时，y=3 ，∴点P的坐标为（2，3）. ….6分
(3) 这个同学的说法不正确. ……………7分
∵设，设折线D-E-O的长度为L，则
，
图2
D
C
y
F
E
O
A
B
x
∵，∴当时，.
而当点D与Q重合时，，
∴该该同学的说法不正确.…9分
（4）①四边形不能为平行四边形.……………10分
如图2，若四边形为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.
∵DE∥轴，∴,即OE=BE=2.5.
当=2.5时,,即；
当=2.5时, ,即.
图3
D
C
y
F
E
O
A
B
∴＞2.5. 即＞,这与EF=DF相矛盾，
∴四边形不能为平行四边形. ……………12分
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4、(2013年河北四摸) (本题9分)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．
后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q
=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，
故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．
5、(2013年河北四摸) (本题12分) 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.
(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;
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(2)求二次函数解析式;
(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.
图11
备用图
解:(1)依题意,得
解得,
∵点在点右侧
∴点坐标为,点坐标为
∵直线:
当时,
∴点在直线上
(2)∵点、关于过点的直线:对称
∴
过顶点作交于点
则,
∴顶点
代入二次函数解析式,解得
∴二次函数解析式为
(3)直线的解析式为
直线的解析式为
由 解得 即,则
∵点、关于直线对称
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∴的最小值是,
过点作直线的对称点,连接,交直线于
则,,
∴的最小值是,即的长是的最小值
∵∥
∴
由勾股定理得
∴的最小值为
6、 (2013年河南西华县王营中学一摸)（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点B在x轴的负半轴上，且∠AB0=30°，抛物线经过A，O，B三点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2:3?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
在Rt△ABF中，．．．∠AB0=300，A的坐标为（1，），
∴OF=1,AF=，BF =3．∴BO=BF－OF=2． B(－2,O).
设抛物线的解析式为y=ax(x+2)．将点A(l，)代入，得
∴抛物线的解析式为，对称轴为直线x=－1
(2)存在点C 设抛物线的对称轴x=－1交x轴于点E．
∵点B（一2，O）和点O(0,O)关于抛物线的对称轴对称，∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小．
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7、（2013年温州一摸）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点
B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C（其中m>0）。
（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；
（2）若OB=4·AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的
右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，△CEB的面积为S，求S与t
的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
解： （1） A(1,0)、
（2）m=1(或解析式)
当0
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