2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题及答案.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）‎ ‎（1）已知（），则的值为（ B ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解】，． ‎ 又，∴. 故选（B）．‎ ‎（2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是（ C ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ y x O ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【解】根据题意，由根的判别式，得．设，‎ 由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，‎ 当时，有，即；‎ 当时，有，即；‎ 当时，有，即；‎ 当时，有，即．‎ 综上，. 故选（C）．‎ ‎（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（ D ）．‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为 ‎． 故选（D）．‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ x ‎（D）‎ y O ‎2.5‎ ‎（A）‎ ‎1‎ ‎（B）‎ x y O ‎2.5‎ ‎1‎ ‎（C）‎ x y O ‎2.5‎ ‎1‎ x y O ‎2.5‎ ‎1‎ ‎（4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（ A ）． ‎ ‎ ‎ A B C E P D 图①‎ ‎【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中，‎ 如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴；‎ A B C D E P 图②‎ 如图②，当点P在BC边上运动时，‎ ‎，即（），有，‎ ‎∴‎ ‎=；‎ A B C D G E P 图③‎ 如图③，当点P在线段CE上运动时，‎ ‎，有 （），‎ ‎∴． ‎ 故选（A）．‎ ‎（5）已知矩形ABCD中，AB = 72，AD = 56，若将AB边72等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC上的两个点）共有（ D ）．‎ ‎（A）130个 （B）129个 （C）121个 （D）120个 ‎【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则．‎ 因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每一条都相交，‎ 所以有57 + 73 = 130个交点（含重合的交点）．‎ 由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点．‎ 因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形．故选（D）．‎ 二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分)‎ ‎（6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于.‎ ‎【解】‎ x y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(2,1)‎ ‎(3,1)‎ ‎(4,1)‎ ‎(5,1)‎ ‎(6,1)‎ ‎2‎ ‎(1,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(3,2)‎ ‎(4,2)‎ ‎(5,2)‎ ‎(6,2)‎ ‎3‎ ‎(1,3)‎ ‎(2,3)‎ ‎(3,3)‎ ‎(4,3)‎ ‎(5,3)‎ ‎(6,3)‎ ‎4‎ ‎(1,4)‎ ‎(2,4)‎ ‎(3,4)‎ ‎(4,4)‎ ‎(5,4)‎ ‎(6,4)‎ ‎5‎ ‎(1,5)‎ ‎(2,5)‎ ‎(3,5)‎ ‎(4,5)‎ ‎(5,5)‎ ‎(6,5)‎ ‎6‎ ‎(1,6)‎ ‎(2,6)‎ ‎(3,6)‎ ‎(4,6)‎ ‎(5,6)‎ ‎(6,6)‎ 其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线上，因此所求的概率等于．‎ ‎（7）计算 （的整数）的值等于 100 ．‎ ‎【解】根号内的被开方数可化为 ‎ ‎ 所以．‎ ‎（8）若是质数，且整除，则的末位数字是 2 .‎ ‎【解】当时，，，5能整除10；‎ 当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满足“ 整除”的条件.‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 综上，.于是.‎ 由的末位数字是6，所以的末位数字是2.‎ D C B A E ‎（9）如图，四边形ABCD中，，‎ ‎，若，则的长为 ‎ 2 ．‎ ‎【解】如图，过点A作与BC的延长线交于点E，‎ 则.‎ ‎∵在△中，由，，得．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，又，‎ ‎∴．‎ 又在△ACD中，，∴．‎ ‎∴△ACE≌△CAD．有．‎ 而在Rt△ABE中，∵，∴，∴.‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，‎ ‎4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两 个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，‎ 若使这个和最大，则此最大值为 50 ． ‎ ‎【解】设相邻格子内的两数为，，且，则，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数应当尽量大，10个减数应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为 ‎ ‎ ．‎ 如图，是满足条件的一种填数字的方法．‎ 三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）‎ ‎（11）（本小题满分20分）‎ 已知 ，，， 求的值.‎ ‎【解】∵，∴， ① ‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 同理 ， ② ‎ ‎. ③ ……………………………10分 由①+②-③， 得，解得.‎ 由①+③-② ，得，解得.‎ 由②+③-① ，得，解得.‎ 所以，. ……………………………20分 ‎（12）（本小题满分20分）‎ 从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 图④‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 图④‎ 如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为，所形成的图形的周长为．‎ 请填写下表：（用含的代数式表示）‎ 第1次 生长后 第2次 生长后 第3次 生长后 ‎…...‎ 第n次 生长后 每个小等边 三角形的边长 ‎……‎ 所形成的 图形的周长 ‎……‎ ‎【解】‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第1次 生长后 第2次 生长后 第3次 生长后 ‎…...‎ 第n次 生长后 每个小等边 三角形的边长 ‎……‎ ‎……10分 所形成的 图形的周长 ‎……‎ ‎……20分 ‎（13）（本小题满分20分）‎ 已知，为正整数，关于的方程有正整数解，求，的值．‎ ‎【解】设方程的两个根为，，则 由，，，均为正整数，不妨设≥≥1，≥≥1，‎ 于是，．‎ 即． ……………………………10分 当时， ，有．‎ 只有=3，=2，此时；‎ 当时， ，‎ 只有=2，=2，此时，；‎ 当时，有=1，，‎ 得，．‎ 所以， 或 或 ……………………………20分 ‎（14）（本小题满分20分）‎ 已知点是锐角△内的一个点，且使最小，试确定点的位置，并证明你的结论．‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎【解】‎ 如图，分别以为边向外作正△，正△，‎ A B C D P 连接交于点，则点即为所求． ……………………………5分 证明如下：‎ 易证△≌△．‎ 有．‎ ‎∴．‎ ‎∵与为对顶角，‎ ‎∴． ……………………………………10分 在上可截取，连接，有△为正三角形．‎ 易证△≌△．可得．‎ A B C G.5‎ M ‎∴为定值．…………………………15分 在△内任取一点（不同于点），‎ 连接，，．‎ 将△以点为旋转中心逆时针旋转，‎ 与重合，得△．‎ 有△≌△．‎ 可得．‎ 连接，则△为正三角形，有．‎ ‎∴．‎ 由于折线．‎ ‎∴点到三个顶点，，的距离之和最短． …………………………20分 ‎（若以为边向外作正△，可得）‎ 初中数学竞赛初赛试题答案第7页（共7页）天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎