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2012～2013学年第二学期期中试卷
初三数学
注意事项： 1．本卷满分130分．考试时间为120分钟．
2．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其余各题均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）
1．－3的绝对值是………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．3 B．－3 C． D．－
2．下列运算正确的是……………………………………………………………………（ ▲ ）
A．3a＋2a＝5a2 B．(2a)3＝6a3 C．(x＋1)2＝x2＋1 D．x2－4＝(x＋2)(x－2)
3．下列图形中不是中心对称图形的是…………………………………………………（ ▲ ）
A．矩形 B．菱形 C．正五边形 D．平行四边形
4．如图，AB∥ED，∠ECF＝70°，则∠BAF的度数为………………………………（ ▲ ）
A．130° B．110° C．70° D．20°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AB＝5，AC＝4，若把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，则所得的几何体的全面积为……………………………………………（ ▲ ）
A．15π B．20π C．24π D．36π
4
5
A
B
C
（第5题图）
0
2
4
6
8
10
12
14
书法
绘画
舞蹈
其他
组别
人数
8
12
11
9
（第6题图）
（第4题图）
B
D
E
F
A
C
6．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是……………（ ▲ ）
A．0.3 B．0.25 C．0.15 D．0.1
7．若相交两圆⊙O1、⊙O2的半径分别是2和4，则圆心距O1O2可能取的值是…（ ▲ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
8．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是………………………………………………………………（ ▲ ）
A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β B．三条边长分别是4，5，5
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C．两个角是β，它们的夹边为4 D．两条边长是5，一个角是β
9．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(3＋，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是…………………………………………………………（ ▲ ）
B
A
D
E
M
C
N
（第10题图）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，
AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，
使△AMN的周长最小，则△AMN的最小周长为…（ ▲ ）
A．2 B．2
C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ▲ .
12．分解因式 3a2－6ab＋3b2＝ ▲ .
13．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物. 将0.0000025用科学记数法可表示为 ▲ .
14．关于x、y的方程组 中，x＋y＝ ▲ .
15．若一个多边形的内角和为900º，则这个多边形的边数是 ▲ .
16．在直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为 ▲ .
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝26，CD＝24，那么sin∠OCE＝ ▲ .
A
O
B
x
y
（第18题图）
（第17题图）
A
O
B
D
C
E
（第16题图）
A
D
C
B
18．如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB＝90°，∠B＝30°，如果点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上运动，那么点B在函数 ▲ （填函数解析式）的图象上运动．
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三、解答题（本大题共10小题，共计84分．）
19．（本题满分8分）（1）计算：()－1－－20130；（2）化简：＋.
20．（本题满分8分）（1）解方程：x2－6x＋4＝0； （2）解不等式组：.
21．（本题满分8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F. 求证：AE＝CF.
A
B
C
D
E
F
（第21题图）
（第22题图）
22．（本题满分8分）如图所示，有一张“太阳”和两张“月亮”共三张精美卡片，它们除花形外，其余都一样.
（1）从三张卡片中一次抽出两张卡片，请通过列表或画树状图的方法，求出两张卡片都是“月亮”的概率；
（2）若再添加几张“太阳”卡片后，任意抽出一张卡片，使得抽出“太阳”卡片的概率为，那么应添加多少张“太阳”卡片？请说明理由.
23．（本题满分8分）小敏为了解我市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图
（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）计算被抽取的天数；
（2）请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角度数；
（3）请估计该市这一年（365天）达到优和良的总天数．
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•
C
B
A
O
24．（本题满分8分）如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心P恰好在∠AOB的角平分线上.
（尺规作图，保留痕迹）
25．（本题满分8分）公园中有一棵树和一座塔恰好座落在一条笔直的道路上. 在途中A处，小杰测得树顶和塔尖的仰角分别为45º和30º，继续前进8米至B处，又测得树顶和塔尖的仰角分别为16º和45º，试问这棵树和这座塔的高度分别为多少米？
（结果精确到0.1米. 参考数据：≈1.414，≈1.732，
A
B
D
45º
30º
16º
45º
C
tan16º≈0.287，sin16º≈0.276，cos16º≈0.961）
26．（本题满分8分）国家为控制房价，出台新规“征收非唯一二手房房产交易盈利部分的20%的个人所得税”，（房产交易盈利＝实际成交价格 —原购买价格）．
老王五年前购买了第二套房产，总价为60万，现想把这套房卖掉．除个人所得税外，还要缴纳契税、营业税及其他税．如下表：
房产面积
契税（占成交价）
营业税（占房产交易盈利）
其他税（占成交价）
不超过90m2
1%
0%
1%
不超过144 m2
1.5%
0%
1%
超过144m2
3%
5.5%
1%
老王这套房子现在的市场价为7000元/ m2．
（1）假设老王房子的面积是150 m2，求老王共纳税多少万元？
（2）老王这套房子实际共纳税100500元，求老王这套房子的面积有多大？
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27．（本题满分10分）如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，OA＝5，AB＝2．点E在线段OC上，作∠MEN＝∠AOC，使∠MEN的一边始终经过点A，另一边交线段BC于点F，连接AF．
A
O
y
B
C
x
E
F
M
N
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点F是BC的中点时，求点E的坐标；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求点E的坐标．
28．（本题满分10分）如图，△ABC中，∠C＝90º，AC＝3，BC＝4. 点D从C点出发沿射线CA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点E从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点E到达B点时D、E都停止运动．
点M是DE的中点，直线MN⊥DE交直线BC于点N，点M′ 与M点关于直线BC对称．点D、E的运动时间为t（秒）．
（1）当t＝1时，AD＝___________，△ADE的面积为 ；
（2）设四边形BCDE的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；
A
C
B
N
M
E
D
M′
（3）当直线MN与△ABC的一边垂直时，求t的值；
（4）当△MNM′ 为等腰直角三角形时，直接写出t的值．
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2012～2013学年第二学期期中试卷
初三数学参考答案与评分标准
一、选择题：（每题3分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
B
C
A
C
D
B
B
二、填空题：（每题2分）
11．x≠1 12．3(a－b)2 13．2.5×10－6 14．9
15．7 16．4 17． 18．y＝－
三、解答题：
19．（共8分）（1）解：原式＝2－2－1………………(3分) ＝－1 ……………… (4分)
（2）解：原式＝…………(1分) ＝………(3分)＝x＋5……… (4分)
20．（共8分）（1）x＝………………… (2分)＝3±………………… (4分)
（2）分别求得两个解集，x＜3，x≥－1………(3分，解对一个得2分)
故原不等式组的解集是－1≤x＜3……………………………(4分)
21.（共8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD. …………………………………………(2分)
∴∠BAC＝∠DCA，∠ABC＝∠CDA…………………………(4分)
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠CDA，∴∠1＝∠2………………(5分)
在△ABE和△CDF中，…………………(6分)
∴AE＝CF. ………………………………………………………(8分)
22.（共8分）（1）树状图或表格，略…………………………………………………(3分)
由树状图或表格可知，从三张卡片中抽出两张卡片，共有等可能的结果6种. …(4分)
其中两种卡片都是月亮的结果有2种，P（抽到两张月亮）＝＝………………(6分)
（2）设添加x张太阳卡片，P＝＝，解得x＝3（最好检验下）………………(8分)
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23.（共8分）（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天，∴被抽取的总天数为：32÷64%＝50（天）. ……………………(2分)
（2）轻微污染天数是50－32－8－3－1－1＝5天. 因此补全条形统计图如图所示：
.……………………………………(4分)
扇形统计图中表示优的圆心角度数
是×360°＝57.6°…………(6分)
（3）∵样本中优和良的天数分别为：8，32，
∴一年（365天）达到优和良的总天数为：×365＝292（天）.
因此，估计该市一年达到优和良的总天数为292天.……………………………(8分)
24.（共8分）作线段OC的中垂线………………………………………………………(3分)
作∠AOB的角平分线………………………………………………………(6分)
两线交点为P，作⊙P………………………………………………………(8分)
25.（共8分）设塔高DF＝a米，树高CE＝b米.
在Rt△DBF中，DF＝a，∠DBF＝45°，∴BF＝DF＝a……………………(1分)
在Rt△DAF中，DF＝a，∠DAF＝30°，∴AF＝DF＝a………………(2分)
∴AB＝AF－BF＝(－1)a＝8………………………………………………(3分)
∴a＝4(＋1)≈4(1.732＋1)＝10.928≈10.9（米）…………………………(4分)
同理，AE＝CE＝b，BE＝，……………………………………………(5分)
∴AB＝BE－AE＝－b＝8………………………………………………(6分)
∴b＝≈＝3.220≈3.2（米）………………………………(7分)
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答：塔高10.9米，树高3.2米.………………………………………………(8分)
26.（共8分）（1）该套房子现在实际成交价格为7000×150＝1050000（元）＝105万元交易盈利为105－60＝45（万元）…………………………………(1分)
共需纳税45(20%＋5.5%)＋105(3%＋1%)＝15.675（万元）………(3分)
（2）设老王这套房子的面积为xm2，实纳税款为y万元.
则实际成交价格为0.7x万元，交易盈利为(0.7x－60)万元…………………(4分)
当0＜x≤90时，y＝0.7x(1%＋1%)＋(0.7x－60)20%＝0.22×0.7x－12
≤0.22×0.7×90－12＝1.86（万元）
当90＜x≤144时，y＝0.7x(1.5%＋1%)＋(0.7x－60)20%＝0.225×0.7x－12
≤0.225×0.7×144－12＝10.68（万元）
当x＞144时，y＝0.7x(3%＋1%)＋(0.7x－60)(20%＋5.5%)＝0.295×0.7x－15.3
＞0.295×0.7×144－15.3＝14.436（万元）
（第3段情况可不写）…………………………………………………(6分)
可知老王房子面积90＜x≤144，于是0.225×0.7x－12＝10.05…………(7分)
解得x＝140，即老王这套房子面积是140m2.……………………………(8分)
27.（共10分）（1）抛物线中，AB∥OC，由对称性可知有等腰梯形AOCB.
而OA＝5，AB＝2，OC＝8
则A（3，4），B（5，4）………………………………………(1分)
抛物线的解析式是y＝－x2＋x……………………………(2分)
（2）可以证明△AOE∽△ECF……………………………………………………(3分)
则＝，不妨设E（x，0），其中0≤x≤8，
由＝，整理得x2－8x＋12.5＝0，解得x＝…………………(4分)
从而点E的坐标为（，0）………………………………………… (5分)
（3）由(2)中相似还可知AO:EC＝AE:EF，若△AEF为等腰三角形，则有三种可能.
①当EA＝EF时，有EC＝AO＝5，∴ E（3，0）………………………… (7分)
A
O
y
B
C
x
E
F
M
N
H
②当AE＝AF时，作AH⊥EF于H，有AE:EF＝5:6
∴EC＝AO＝6，∴ E（2，0）…… (9分)
③当FA＝FE时，同理可得AE:EF＝6:5
∴EC＝AO＝，∴ E（，0）…… (10分)
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综上所述，符合要求的点E有三个.
28．（共10分）（1）2，………………………………………………………… (2分)
（2）当0＜t＜3时，AE＝t，AD＝3－t ……………………………………… (3分)
S＝×t(3－t)＝－t2＋t…………………………………………………(4分)
（3）由MN⊥DE，若直线MN与△ABC的一边垂直，则有3种情形：
①DE∥BC，此时MN⊥BC，DE⊥AC，由t＋t＝3，解得t＝……… (5分)
②当t＝0时，MN⊥AC；
③当t＝3时，DE在AB上，MN⊥AB.………………………………… (6分)
（4）当0＜t≤3时，如图1，t＋t＋t＝3，得t＝…………………………(8分)
当3＜t≤5时，如图2，t－t＋t＝3，得t＝……………………… (10分)
A
C
B
N
M
E
D
M′
H
A
C
B
N
M
E
D
M′
H
图1
图2
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