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2013年中考数学模拟试卷
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
【原创试题】1.计算 的结果是【 】
A．1 B． C． 5 D．
【原创试题】 2.如图，所给图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是【 】
A B C D
【改编试题】3. 国家发改委已于2013年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000吨钢铁，保留2个有效数字为【 】
A．1.0×106 B．1.02×106 C．1.02×107 D．1.0×107
【原创试题】4.暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机抽取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加综合实践活动的概率为【 】
A、 B、 C、 D、
【原创试题】5.下列运算正确的是【 】
A．x2+ x3 = x5 B．x4·x2 = x6 C．x6÷x2 = x3 D．( x2 )3 = x8
【原创试题】6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是【 】
（第7题图）
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
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【原创试题】7.如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为【 】
A.12cm2 B.24cm2 C.36cm2 D.48cm2
【试题来源】（2012广州广雅）8．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是【 】
1 3 5 m
2 3 4 15 6 35 8 n
A． 48 B． 56 C． 63 D． 74
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
【原创试题】9.要使式子有意义，则的取值范围是 。
【原创试题】10.若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为 。．
【原创试题】11.分解因式：2x2﹣10x= 。
【原创试题】12.分式方程的解x等于 。
【原创试题】13.某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄（单位：岁）分別为：12，13，13，14，12，13，15，13，则他们年龄的众数为 。
【改编试题】14.如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=16，则CD的长是 。
【试题来源】（2012湛江）如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是 。
14题
15题
14题
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【原创试题】15.如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 点。
【试题来源】（2012深圳）16.如图，双曲线与⊙O 在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 。
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【原创试题】17.（本题满分6分）计算：．
【原创试题】18.（本题满分6分）化简：
【原创试题】19.（本题满分6分）解不等式组：，并判断﹣1、这两个数是否为该不等式组的解。
【改编试题】20. （本题满分8分）为实施校园文化公园化战略，提升校园文化品位，在“回赠母校一颗树”活动中，我市某中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、柳树、木棉树，为了解学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如图统计图：
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请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
（1）该中学一共随机调查了多少人？
（2）条形统计图中的m、n值分别是多少？
（3）如果在该学校随机抽查了一位学生，那么该学生喜爱的香樟树的概率是多少？
【试题来源】（2012苏州）21.（本题满分10分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC.
⑴求证：△ABE≌△CDA；
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
【改编试题】22.（本题满分12分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．
（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使分式有意义的（x，y）出现的概率；
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（3）化简分式，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．
【试题来源】23. （本题满分10分） （2012广东湛江10分）某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔技种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔技种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；
（2）该市2012年荔技种植面积为多少万亩？
【原创试题】24. （本题满分10分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
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【试题来源】25.（本题满分12分） （2012广东省9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【试题来源】（2012盐城）26．(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；
信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，
乙商品零售单价比进货单价的2倍少
1元．
信息3：按零售单价购买
甲商品3件和乙商品2件，
共付了19元.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
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（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【试题来源】（2012江苏泰州）27. （本题满分10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点
P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
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2013年中考数学模拟试卷解析
一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
【原创试题】1.计算 的结果是【 】
A．1 B． C． 5 D．
【命题意图】考查有理数加法法则．
【参考答案】B。
【原创试题】2..如图，所给图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是【 】
A B C D
【命题意图】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，是需要熟记的内容。
【参考答案】B。
【试题来源】自编。
【改编试题】3.国家发改委已于2013年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000吨钢铁，保留2个有效数字为【 】
A．1.0×106 B．1.02×106 C．1.02×107 D．1.0×107
【命题意图】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，再结合有效数字的定义，表示时才能正确确定a的值以及n的值，
【参考答案】D。
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【试题来源】（2012湛江）国家发改委已于2012年5月24日核准广东湛江钢铁基地项目，项目由宝钢湛江钢铁有限公司投资建设，预计投产后年产10200000吨钢铁，数据10200000用科学记数法表示为【 】
A．102×105 B．10.2×106 C．1.02×106 D．1.02×107
【原创试题】4.暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机抽取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加综合实践活动的概率为【 】
A、 B、 C、 D、
【命题意图】本题主要考查了概率知识，是需要灵活运用的．
【参考答案】D。
【试题来源】自编。
【原创试题】5.下列运算正确的是【 】
A．x2+ x3 = x5 B．x4·x2 = x6 C．x6÷x2 = x3 D．( x2 )3 = x8
【命题意图】本题主要考查了同底数乘法、除法及乘方法则的运用。
【参考答案】B。
【试题来源】自编。
【原创试题】6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是【 】
A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱
【命题意图】由三视图判断简单的几何体。
【参考答案】D。
（第7题图）
【试题来源】自编
【原创试题】7.如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为【 】
A.12cm2 B.24cm2 C.36cm2 D.48cm2
【命题意图】本题主要考查圆与圆相外切，圆心距等于两圆半径 之和。
【参考答案】B。
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【试题来源】自编。
【试题来源】（2012广雅）8．如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是【 】
1 3 5 m
2 3 4 15 6 35 8 n
A． 48 B． 56 C． 63 D． 74
【命题意图】本题主要考查学生去发现规律和探索规律。
【参考答案】C 。
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
【原创试题】9.要使式子有意义，则的取值范围是 。
【命题意图】二次根式有意义的条件，根式的值一定要大于或大于等于零。
【参考答案】。
【试题来源】自编。
【原创试题】10.若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为 。
【命题意图】本题主要考查同类项的定义，然后在根据同类项的定义列式求解即可。
【参考答案】3。
【试题来源】自编。
【原创试题】11.分解因式：2x2﹣10x= 。
【命题意图】能用提公因式法因式分解。
【参考答案】2x（x﹣5）。
【试题来源】自编。
【原创试题】12.分式方程的解x等于 。
【命题意图】考察学生会解分式方程,并会检验。
【参考答案】x=1。
【试题来源】自编。
【原创试题】13.某校羽毛球训练队共有8名队员，他们的年龄（单位：岁）分別为：12，13，13，14，12，13，15，13，则他们年龄的众数为 。
【命题意图】考察学生了解众数的概念，并会识别中位数和众数。
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【参考答案】13.
【试题来源】自编。
【改编试题】14.如图，在半径为10的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=16，则CD的长是 。
【命题意图】考查学生对垂径定理，勾股定理运用。
【参考答案】4。
【试题来源】（2012湛江）如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则OD的长是 ．
【原创试题】15.（2012梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形 的边循环移动．①第一次到达G点时移动了 cm；②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 点。
【命题意图】考察学生分类归纳（图形的变化类）。
【试题分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，而2012÷8=251…4，
∴移动2012cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点。
【参考答案】①7cm，②在E点。
【试题来源】自编。
【试题来源】16. （2012深圳）如图，双曲线与 ⊙O 在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已 知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 。
【命题意图】考察学生对反比例函数综运用
【试题分析】∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3）， ∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。
【参考答案】4。
三、解答题。
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【原创试题】17.（本题满分6分）计算：
【命题意图】实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂。
【参考答案及评分标准】
解：原式=－2×－1+
=-。
【试题来源】自编。
【原创试题】18.（本题满分6分）化简：
【命题意图】本题是一道有关分式化简计算的问题，看似简单，其实在换件之后却隐含着一个设计分式有意义时字母的取值范围问题，这是学生容易犯的常见错误。
【参考答案及评分标准】
解：原式=……………3分
= ………………………… 4分
= ……………………………………… 6分
【试题来源】自编。
【原创试题】19.（本题满分6分）解不等式组：，并判断﹣1、 这两个数是否为该不等式组的解．
【命题意图】要利用解一元一次不等式组，来估算无理数的大小。要解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）
【参考答案及评分标准】
②
①
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解：由①得x＞﹣3；由②得x≤1。………………………3分
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，……………………4分
∵﹣3＜﹣1≤1，∴﹣1是该不等式组的解。………………5分
∵1＜，∴不是该不等式组解。………………………6分
【试题来源】自编。
【改编试题】20.（本题满分8分）为实施校园文化公园化战略，提升校园文化品位，在“回赠母校一颗树”活动中，我市某中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、柳树、木棉树，为了解学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如图统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
（1）该中学一共随机调查了多少人？
（2）条形统计图中的m、n值分别是多少？
（3）如果在该学校随机抽查了一位学生，那么该学生喜爱的香樟树的概率是多少？
【命题意图】考察学生对扇形统计图，条形统计图，频数、频率和总量的关系，概率公式。
【参考答案及评分标准】（1）用喜欢柳树的人数除以其所占的百分比即可得中学一共随机调查了20÷10%=200人。………………………………………2分
（2）用总人数乘以喜欢木棉的人数所占的百分比，求出n：n=200×15%=30人，再用总人数减去喜欢桂花树、柳树、木棉树的人数，即可求出m：m=200﹣80﹣20﹣30=70人。………………………………………6分
（3）用喜欢香樟树的人数除以总人数即可求得该学生喜爱的香樟树的概率是：。………………………………………8分
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【试题来源】（2012苏州）21.（本题满分10分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC.
⑴求证：△ABE≌△CDA；
⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.
【命题意图】本题运用梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【参考答案及评分标准】
⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA。
∴∠ABE=∠CDA。
在△ABE和△CDA中，AB=CD，∠ABE=∠CDA， BE=AD，
∴△ABE≌△CDA（SAS）。………………………………5分
⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD，AE=AC。
∴∠AEB=∠ACE。
∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°。
∴∠EAC=180°－40°－40°=100°。……………………………10分
【改编试题】22.（本题满分12分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．
（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；
（2）求使分式有意义的（x，y）出现的概率；
（3）化简分式，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率。
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【命题意图】能根据列表法或树状图法，求出一共有多少种，然后在根据概率分式有意义的条件，进行分式的化简求值。
【参考答案及评分标准】
解：（1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果如下：
－2
－1
1
－2
（－2，－2）
（－1，－2）
（1，－2）
－1
（－2，－1）
（－1，－1）
（1，－1）
1
（－2，1）
（－1，1）
（1，1）
………………………………4分
（2）∵（x，y）所有可能出现的结果共有9种情况，使分式有意义的（x，y）有（﹣1，﹣2）、（1，﹣2）、（﹣2，﹣1）、（﹣2， 1）4种情况。
∴使分式有意义的（x，y）出现的概率是。………8分
（3）∵+=
使分式的值为整数的（x，y）有（1，﹣2）、（﹣2，1）2种情况，
∴使分式的值为整数的（x，y）出现的概率是．…………… 12分
【试题来源】改编。
【试题来源】（2012湛江）23.（本题满分10分）某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔技种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔技种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；
（2）该市2012年荔技种植面积为多少万亩？
【命题意图】考察学生对一次函数的应用，待定系数法，直线上 频数、频率和总量的关系和概率公式。
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【参考答案及评分标准】
解：（1）设函数的解析式为：y=kx+b，……………………… 2分
由图形可知函数图象经过点（2009，24）和（2011，26），则
200k+b=24，解得：k=1。………………………………………3分
2011k+b=26 b=-1985
∴y与x之间的关系式为y=x﹣1985。 ………………………………6分
（2）令x=2012，得y=2012﹣1985=27。………………………………10分
【原创试题】24.（本题满分10分）如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数： 参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89tan26.6°=0.50）．
【命题意图】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
【参考答案及评分标准】
解∵在直角三角形ABC中，=tanα=，
∴BC= ……………………………………………………………3分
∵在直角三角形ADB中，
∴=tan26.6°=0.50
即：BD=2AB……………………………………………………………6分
∵BD﹣BC=CD=200
∴2AB﹣AB=200
解得：AB=300米，…………………………………………………… 9分
答：小山岗的高度为300米．……………………………………… 10分
【试题来源】自编。
【试题来源】（2012广东省）25.（本题满分12分）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
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（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时， 求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【命题意图】本题是二次函数综合题，灵活运用了曲线上点的坐 标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【参考答案及评分标准】
解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；
当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；
当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．………………………………………………………………4分
（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．………8分
（3）S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2；
则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；
∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：
=，即：=
∴EF=；
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=．………… 12分
【试题来源】（2012盐城）26．(本题满分10分)利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；
信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，
乙商品零售单价比进货单价的2倍少
1元．
信息3：按零售单价购买
甲商品3件和乙商品2件，
共付了19元.
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请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使 每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元. 在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
【命题意图】本题是图表信息题，考察学生是否能认真分析题意，找出题中的数量关系式，根据等量关系列方程组解决问题，再根据商品利润、售价、进价和数量之间关系，列出二次函数关系式，并利用函数知识求出利润最大值。
【参考答案及评分标准】
解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．
根据题意，得 解得
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．…………4分
（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则
s=(1-m)(500+100×)+(5-3-m)(300+100×)
即 s=-2000m2+2200m+1100 =-2000(m-0.55)2+1705.
∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705. ……………9分
答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元. ……………10分
【试题来源】（2012泰州）27.（本题满分12分）如图，已知直线l与⊙O相离OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
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【命题意图】本题运用切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。
【参考答案及评分标准】
解：（1）AB=AC。理由如下：
连接OB。
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°。
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB。
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC。
∴AB=AC。……………4分
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。
又∵PC=2，
∴AB2=OA2-OB2=52-r2,AC2=PC2-PA2=(2)2-(5-r)2。
由（1）AB=AC得52-r2= (2)2-(5-r)2，解得：r=3。
∴AB=AC=4。
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC。
∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。
∴=，即=，
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解得PB=。 …………… 8分
（3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则OE=AC=AB=。
又∵圆O要与直线MN交点，
∴OE=≤r，
∴r≥。
又∵圆O与直线l相离，
∴r＜5。
∴⊙O的半径r的取值范围为≤r＜5．……………12分
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