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2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（文）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）
1．函数的最小正周期是__________．
2．若关于的不等式的解集为，则实数_________．
3． 已知集合，若，则实数的值
是 ．
4．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为__________．
5．求值：___________．
是
否
结束
开始
输出
第9题
6．已知向量不超过5，则k的取值范围是____________．
7．设，行列式中第3行
第2列的代数余子式记作，函数的反函
数图像经过点，则 ．
8． 已知，且
，则_____．
9．如图是一个算法框图，则输出的的值是____________．
10．设函数的曲线绕轴旋转一周
所得几何体的表面积__________．
11．从名男生和名女生中任选人参加会议，则选出人中至少有名女生的概
率是__________．
12．函数的单调递减区间是___________．
13.已知变量，满足约束条件 若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围_______________.
14．设数列是公差不为零的等差数列，，若自然数满足，且是等比数列，则=_______________.
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二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）
15. 已知，是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是 （ ）
A． B. C. D.
16.关于直线，及平面α，β，下列命题中正确的是 （ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若，则
17. 过点作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线 （ ）
A．存在一条，且方程为 B．存在无数条
C．存在两条，方程为 D．不存在
18.已知函数构造函数，定义如下：当
，那么（ ）
A．有最小值0，无最大值 B．有最小值，无最大值
C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值
三．解答题（本大题满分74分，共5小题）
19. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用
反三角函数值表示）．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在△中，角，，所对应的边，，成等比数列．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
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21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
设函数是定义域为的奇函数．
（1）求的值；
（2）若，试说明函数的单调性，并求使不等式恒成立的的取值范围．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
如图，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过轨迹的准线与轴的交点作方向向量为的直线与轨迹交于不同两点、，问是否存在实数使得？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由；
（3）在问题（2）中，设线段的垂直平分线与轴的交点为，求的取值范围．
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
已知数列的前项和为，且对于任意，总有．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，当公差满足时，求的值并求这个等差数列所有项的和；
（3）记，如果（），问是否存在正实数，使得数列是单调递减数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
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2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（参考答案）
一、填空题（每小题4分，共56分）
1． 2。 3。（文） 4。 5。 6. 7。
8． 9。 10。 11． 12。 13。
14．
二、选择题（每小题5分，共20分）
15．B 16。B 17。D 18。B
三、解答题
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
解：（1）由题意，解得. ………………2分
在△中，，所以．
在△中，，所以． ………………4分
所以． ………………6分
（2）取中点，连接，，则，
得或它的补角为异面直线 与所成的角. ………………8分
又，，得，，
由余弦定理得， ………………10分
所以异面直线 与所成角的大小为． ………………12分
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
解：（1）由已知，，所以由余弦定理，
得 ………………2分
由基本不等式，得．………………4分
所以．因此，．………………6分
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（2），
………………9分
由（1），，所以，所以，
所以，的取值范围是． ………………12分
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
解：（1）由题意，对任意，，即，
………………2分
即，，
因为为任意实数，所以． ………………4分
解法二：因为是定义域为的奇函数，所以，即，．
当时，，，是奇函数．
所以的值为． ………………4分
（2）由（1）知，由，得，解得．
………………6分
当时，是减函数，也是减函数，所以是减函数．
………………7分
由，所以，………………8分
因为是奇函数，所以． ………………9分
因为是上的减函数，所以即对任意成立， ………………11分
所以△， ………………12分
解得． ………………13分
所以，的取值范围是． ………………14分
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22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
解：（1）设，由题意，，，，
，， ………………2分
由，得，
化简得．所以，动点的轨迹的方程为．………………4分
（2）轨迹为抛物线，准线方程为，即直线，所以，……………5分
当时，直线的方程为，与曲线只有一个公共点，故．…………6分
所以直线的方程为，由 得，
由△，得． ………………8分
设，，则，，
所以，， ………………9分
若，则，即，
，， ………………11分
解得．所以． ………………12分
（3）由（2），得线段的中点为，线段的垂直平分线的一个法向量为，所以线段的垂直平分线的方程为， ………………15分
令，， ………………16分
因为，所以．
所以的取值范围是． ………………18分
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
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解：（1）当时，由已知，得．
当时，由，，两式相减得，
即，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以，（）． ………………4分
（2）由题意，，故，即，………………6分
因为，所以，即，解得，…………8分
所以．所以所得等差数列首项为，公差为，共有项．………………10分
所以这个等差数列所有项的和． ………………11分
所以，，． ………………12分
（3）由（1）知，所以
．………………14分
由题意，，即对任意成立，
所以对任意成立．………………16分
因为在上是单调递增的，所以的最小值为．
所以．由得的取值范围是．
所以，当时，数列是单调递减数列． ………………18分
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