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历下区2013年第一次模拟考试数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题（本大题共15个小题，每题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．气温2℃比气温－18℃高（ ）
A．16℃ B．20℃ C．－16℃ D．－20℃
2．若x与y互为相反数，则x＋y的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
3．在平面直角坐标系中，点M(－3，2)关于原点对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第4题图
A
B
C
D
4．如图所示，该几何体的主视图应为（ ）
5．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知⊙的半径是5cm,⊙的半径是3 cm,＝8 cm,则⊙和⊙的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．内切 D．相交
1
0
2
A．
1
0
2
B．
1
0
2
C．
1
0
2
D．
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数
C．学校招聘教师，对应聘人员面试 D．黄河中学调查全校753名学生的身高
10．一组数据为：2，2，3，4，5，5，5，6，则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数是2 B．这组数据的平均数是3
C．这组数据的极差是4 D．这组数据的中位数是5
11．对于一次函数y=－x+4，下列结论错误的是（ ）
A． 函数值随自变量的增大而减小
B．点（4－a, a）在该函数的图象上
第12题图
C．函数的图象与直线y=x+2垂直
D．函数的图象与坐标轴围城的三角形的周长是4+
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12．如图，在⊙O中，弦∥,若，则 （ ）
l1
1
第13题图
l2
2
A. B. C. D.
13．已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝25°，则∠2等于( )
第14题图
A．30° B．35° C．40° D．45°
14．如图，在矩形ABCD中，，BC=1. 现将矩形ABCD 绕
点C顺时针旋转90°得到矩形，则AD边扫过的
面积(阴影部分)为（ ）
A
B
O
x
y
N
F
E
P
M
第15题图
A . π B. π C.π D. π
15．如图，直线 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F,则AF·BE=（ ）
A.2 B.4 C. 6 D.
第Ⅱ卷（非选择题 共75分）
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分，把答案填在题中的横线上）
16．据报道，截止2013年1月济南市机动车拥有量约1400000辆．将数1400000用科学记数法表示为____ ___．
第20题图
17．分解因式：=____ ___．
18．当x_________时，在实数范围内有意义．
19．某公司前年缴税400万元，今年缴税484万元，该公司缴税 的年平均增长率为 ．
第21题图
20．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小 正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是____ ．
21．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边 OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则正方形OB2012B2013C2013的对称中心的坐标为____ ___．
三、解答题：（本大题共7个小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22.（本小题满分7分）
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（1）计算：cos30° （2）解方程：
23.（本小题满分7分）
A
B
C
D
O
第23(1)题图
（1）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．
求证：△OAB是等腰三角形．
第23(2)题图
（2）某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．
24. （本小题满分8分）
甲
乙
进价(元/件)
15
35
售价(元/件)
20
45
某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
25.（本小题满分8分）
有一个不透明口袋，装有分别标有数字1，2，3，4的4个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字1，2，3的卡片．小敏从口袋中任意摸出一个小球，小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张，然后计算小球和卡片上的两个数的积．
（1）请你用列表或画树状图的方法，求摸出的这两个数的积为6的概率；
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（2）小敏和小颖做游戏，她们约定：若这两个数的积为奇数，小敏赢；否则，小颖赢．你认为该游戏公平吗？为什么？
26．（本小题满分9分）
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图，求证：BE=EF；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE与EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
第26题图
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27．（本小题满分9分）
如图,设直线l2：y= -2x+8与x轴相交于点N，与直线l1相交于点E（1，a），双曲线y=(x＞0)经过点E，且与直线l1相交于另一点F(9,) .
E
N
P
B
F
M
O
D
C
x
A
y
第27题图
H
(1)求双曲线解析式及直线l1的解析式；
(2) 点P在直线l1上，过点F向y轴作垂线，垂足为点B，交直线l2于点H，过点P向x轴作垂线，垂足为点D，与FB交于点C.
①请直接写出当线段PH与线段PN的差最大时点P的坐标；
②当以P、B、C三点为顶点的三角形与
△AMO相似时，求点P的坐标.
28．（本小题满分9分）
第28题图
y
x
已知：如图，抛物线与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q、E同时从B点出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段BC向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段BA向点A运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接CQ、EQ，求△CQE的最大面积；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为
（2，0），问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P
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的坐标；若不存在，请简明说明理由．
历下区2013年第一次模拟考试数学试题参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
答案
B
A
D
C
D
B
A
A
B
C
D
D
B
C
B
二、填空题
题号
16
17
18
19
20
21
答案
1.4×106
≤2
10%
(22012，22012)
三、解答题：
22、（1） 解：原式= ……………………………………………2分
………………………………………………3分
（2）解：方程两边同乘以,得:…………………1分
∴ ＝１…………………………………………………………2分
经检验，＝１是原方程的解．………………………………………3分
所以，原方程的解为 4分
23、（1）证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴ ∠D =∠C=90° ………… （1分）
在Rt△ACB和 Rt△BDA 中，AB= BA ，AC=BD， ∴ △ACB≌ △BDA（HL）………（2分）
∴∠C AB =∠D BA ∴△OAB是等腰三角形． ……… （3分）
（2）解：∵在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3 ∴DA＝3 …………1分
在Rt△ADC中，∠CDA＝60°∴tan60°= …………2分
∴CA= …………………………………………3分
∴BC=CA－BA=(－3) 米 ………………………4分
24解：设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件. …………1分
根据题意，得 …………5分
解得： ………………………………7分
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答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件. …………8分
小敏
25、解：（1）列表如下：
小颖
积
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
………………………………………………………（3分）
总结果有12种，其中积为6的有2种，…………4分
∴P（积为6）=．……………（5分）
（2）游戏不公平，…………………6分.
因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况．……………8分
26．证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，…………1分
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，…………2分
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE= ∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，…………3分
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；…………4分
（2）图2：BE=EF．图3：BE=EF．…………5分
图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°……6分
又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，…………7分
∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，…………8分
又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；……9分.
图3证明与图2类似，请酌情赋分。
27．答案：直线l2 :y = -2x+8与x轴相交于点N(-4,0), (1)将E（1，a）代入l2=2x+8得a=6，将E（1，6）代入 y=得k=6 ，y=------2分
设l1的直线解析式为y=ax+b，将E（1，6），F(9,)代入得l1 y= -x+ -----4分
（2）①P（1，6）------------------------ ------------6分
②AO=,AM==PC=-b+,MO=10---------------7分
情况1：△PBC～△AMO,即BC:OM=PC:AO解得a=4.5,P(4.5,) --------------8分
情况2：△PBC～△MAO,即BC:AO=PC:MO所以a=,P(,) ----9分
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28.解：由题意，得 ---------1分
解得所求抛物线的解析式为：． --------2分
（2）由题意得，，过点作轴于点．由，得点的坐标为． -------3分
．． -----4分
．又∵，
当时，有最大值． ----------------5分
（3）存在．在中．（ⅰ）若，，．又在中， ．点的坐标为．由，得，．此时，点的坐标为：或．----------------7分
（ⅱ）若，过点作轴于点，由等腰三角形的性质得： ．
由，得点的坐标为：或．----------------8分
（ⅲ）若，∵，且，点到的距离为，而，此时，不存在这样的直线，使得是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线，使得是等腰三角形．所求点
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的坐标为：
或或或 ----------------9分
特别说明：1.若学生只答“存在”则赋1分；
2.若没有第（ⅲ）种情况则扣掉1分。
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