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2013五月联考数学模拟试卷
一、 选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
D
D
D
C
D
D
D
B
二、 填空题
11.x(x-3)2 ； 12.；13. 8 ； 14. ；15. ；
三、16.3；17.（1）命题1：如果①②，那么③ ；命题2：如果①③，那么②；
（2）命题1的证明：
∵①AE∥DF， ∴∠A=∠D。
∵②AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB。
在△AEC和△DFB中，
∵∠E=∠F，∠A=∠D，AC=DB， ∴△AEC≌△DFB（AAS）。
∴CE=BF③（全等三角形对应边相等）。
18、（1）500人（2）略（3）4000人（4）175×（1+20％）2=252人
19、解：作点P到直线AB的垂线段PE，则线段PE的长，就是点P到直线AB的距离，
根据题意，∠APE=∠PAC=30°，∠BPE=∠PBD=45°，
则在Rt△PAE和Rt△PBE中，
， BE=PE，
而AE+BE=AB， 即， ∴PE=，
∵PE>50，即保护区中心到公路的距离大于半径50千米，
∴公路不会穿越保护区。
20、解：（1）画树状图得：
∴点Q所有可能的坐标有6个：
（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）。
（2）∵点Q在x轴上的有：（0，0），（﹣2，0），∴点Q在x轴上的概率为：。
（3）∵⊙O的半径是2，∴在⊙O外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），
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在⊙O上的有（0，﹣2），（﹣2，0）。
∴过点Q能作⊙O切线的概率为：。
21、
解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2。
∵tan∠AHO=2，∴OH=1。
∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1。
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）。
∵点M在上，∴k=1×4=4。
（2）存在。
∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1）。
过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）。
此时PM+PN最小。
∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N1的坐标为（4，﹣1）。
设直线MN1的解析式为y=kx+b。
由解得。
∴直线MN1的解析式为。
令y=0，得x=．
∴P点坐标为（，0）。
22、解：（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
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∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为：
连接GD，如答图2所示．
∵KG2=KD•GE，即=，
∴=，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，
∴FG===．
23、解：（1）设函数解析式为V=kx+b，
则，
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解得：，
故V关于x的函数表达式为：V=﹣x+94；
（2）由题意得，V=﹣x+94≥50，
解得：x≤88，
又P=Vx=（﹣x+94）x=﹣x2+94x，
当0＜x≤88时，函数为增函数，即当x=88时，P取得最大，
故Pmax=﹣×882+94×88=4400．
答：当车流密度达到88辆/千米时，车流量P达到最大，最大值为4400辆/时
24、解：（1）BD=CF成立。理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。∴BD⊥CF。
②过点F作FN⊥AC于点N。
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，。
∴在Rt△FCN中，。
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在Rt△ABM中，。
∴AM=。
∴CM=AC﹣AM=4﹣，。
∵△BMA∽△CMG，∴，即，∴CG=。
∴在Rt△BGC中，。
25、解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4。
∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）。
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2，
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）点P是第三象限内抛物线上的一点，
如图，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），
则m＜0，n＜0，。
∴PC=|n|=﹣，OC=|m|=﹣m，
BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m。
∴
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∴当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）。
（3）存在。
假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为。
如图，过点Q作QD⊥BB1于点D，设Q（xQ，yQ），
由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：
，
在Rt△OBB1中，。
∵，
∴，解得xQ=﹣1或xQ=﹣3。
当xQ=﹣1时，yQ=﹣4；当xQ=﹣3时，yQ=﹣2。
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）。
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