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四边形证明题
1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE =∠DAF．
（1）求证：BE = DF；
（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，联结EM、FM．
A
D
B
E
F
O
C
M
第1题图
求证：四边形AEMF是菱形．
2、如图8，已知梯形中，， 、分别是、的中点，点在
（第2题图）
边上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）联结,若平分，
求证：四边形是矩形．
xK b1. C om
(第3题图)
E
A
C
D
F
B
P
3、如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。
（1）求证：AF=BE；
（2）请猜测∠BPF的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足.
N
M
D
C
B
A
（1）求证：AN=CM；
（2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积.
A
B
（图5）
D
C
O
E
F
5.如图.在平行四边形中，为对角线的交点，
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点为线段延长线上的一点，且.过点作∥，交于点，联结.
（1）求证：∥；
（2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，
并给出证明.
（第6题）
A
B
C
D
G
H
E
F
M
6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．
求证：（1）BM//GH；
（2）BM⊥CF．
X|k | B | 1 . c |O |m
7．已知：如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，联结CD.求证：四边形ABCD是菱形．
8．如图，在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点，点是的中点.
求证：（1） (2)
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9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．
A
B
E
F
C
D
求证：四边形AEFD是矩形．
（第9题）
A
B
C
D
G
E
F
10．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝，求证：四边形DEBF是菱形．
11．（第11题图）
A
B
F
C
D
E
已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F．
求证：四边形AFCD是菱形．
12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
A
B
D
C
E
F
（第12题图）
已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点E、F在边BC上，DE // AB，AF // CD，且四边形AEFD是平行四边形．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；w W w . x K b 1 .c o M
（2）现有三个论断：①AD = AB；②∠B +∠C
= 90°；③∠B = 2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．
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四边形证明题答案
1．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B =∠D=90°…………………………（2分）
∵∠BAE = ∠DAF
∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）
∴BE = DF……………………………………………………………………（2分）
（2）∵正方形ABCD，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分）
∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO……………………………………（1分）
∵△ABE≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分）
∴EO=FO ，AO⊥EF…………………………………………………………（2分）
∵OM = OA ∴ 四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）
∵AO⊥EF ∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）
2．（1）证明：联结EG，
∵ 梯形中，，且、分别是、的中点，
∴ EG//BC，且，…………………………（2分）
又∵新 -课- 标- 第-一-网
∴ EG=BF．……………………………………………………（1分）
∴ 四边形是平行四边形．…………………（2分）
（2）证明：设AF与EG交于点O，
∵ EG//AD，∴∠DAG=∠AGE
∵平分，∴∠DAG=∠GAO
∴∠GAO=∠AGE
∴ AO=GO．………………………………（2分）
∵四边形是平行四边形，
∴ AF=EG，四边形是矩形…………………………（2分）
3．证明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC
∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）
∵AD= DC ∴ AE=DF…………………………………………（1分）
∵BA=AD ∴△BAE≌△ADF， …………………………………（1分）
∴BE=AF． …………………………………………………………（1分）
（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）
∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分）
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……………………………………（1分）
而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．
∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）
4、证：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠DAC=∠BCA.
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
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∴∠DNA=∠BMC.
∴⊿DAN≌⊿BCM, ---------------------------------------------------（3分）
∴AN=CM. ---------------------------------------------------------------（1分）
（2）联结BD交AC于点O，
∵AN = NM=2,
∴AC = BD =6,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=DO=3，
在⊿ODN中，OD=3，ON=1，∠OND=,
∴DN=,--------------------------------------（2分）
∴矩形ABCD的面积=.-----------------------（1分）
A
B
（第5题图1）
D
C
O
E
F
G
5.解：（1）方法1：延长交于（如图1）.……………1分
在平行四边形中，∥，.
∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形.
∴ .……………1分新|课 |标| 第 | 一| 网
又∵，，
∴ .……………1分
∵∥，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A.A.S）. ∴.…………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥. ………………1分
A
B
（第5题图2）
D
C
O
E
F
G
方法2：将线段的中点记为，联结（如图2）. ………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥. …………1分
∴.
∵∥，∴.
∵，，
∴.
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在和中，
∵，，，
∴≌（A.S.A）. …………………1分
∴.
又∵∥，
∴四边形是平行四边形. …………………1分
∴∥. …………………1分
其他方法，请参照上述标准酌情评分.
（2）如果梯形是等腰梯形，那么四边形是矩形. ……………1分
∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.
∴.……………1分
又∵梯形是等腰梯形，∴.
∴.
（备注：使用方法2的同学也可能由≌找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形是平行四边形找到解题方法）.
∵四边形是平行四边形，∴，.
∴.……………1分新 课 标 第 一 网
∴平行四边形是矩形. ……………1分
6．证明：（1）∵在正方形ABCD中，AD//BC，∴∠A=∠HBE，∠ADE=∠H，…（1分）
∵AE=BE，∴△ADE≌△BHE．………………………………………（1分）
∴BH=AD=BC．…………………………………………………………（1分）
∵CM=GM，∴BM//GH．………………………………………………（1分）
（2）∵在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90º，
又∵DF=AD，AE=AB，∴AE=DF．∴△AED≌△DFC．………（1分）
∴∠ADE=∠DCF．………………………………………………………（1分）
∵∠ADE+∠GDC=90º，∴∠DCF+∠GDC=90º．∴∠DGC=90º．…（1分）
∵BM//GH，∴∠BMG=∠DGC=90º，即BM⊥CF．…………………（1分）
7、证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD.
又 ∵AE∥BF， ∴∠BCA=∠CAD. --------------------------1分
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∴∠BAC=∠BCA.
∴ AB=BC. --------------------1分
同理可证AB=AD.
∴ AD=BC. ----------------------1分
又 AD∥BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形. -----1分
又AB=BC，∴□ABCD是菱形. -----1分
8. 证明：（1）∵正方形
∴ …………1′
∵是的中点 ∴ …………1′
∵
∴…………1′
∴ ∴…………1′
∵是的中点 ∴…………1′
(2)证 …………1′ ∴
∵ ∴ ………1′
∵ ∴
∴ …………1′
9．证法一： ∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD X|k | B | 1 . c |O |m
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∴AD//DF，∴∠AEF=∠DFC．………………………………………（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………………………………………（1分）
又∵BE=CF，∴△ABE≌△DCF．……………………………………（1分）
∴∠AEB=∠DFC，……………………………………………………（1分）
∴∠AEB=∠AEF．………………………………………………………（1分）
∵∠AEB+∠AEF=180º，∴∠AEF=90º．……………………………（1分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）
证法二： 联结AF、DE．…………………………………………………………（1分）
∵在梯形ABCD中，AD//BC，又∵EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．………………………………………（1分）
∵AB=CD，∴∠B=∠C．………………………………………………（1分）
∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，…………………………（1分）
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∴△ABF≌△DCE．……………………………………………………（1分）
∴AF=DE，………………………………………………………………（2分）
∴四边形AEFD是矩形．………………………………………………（1分）
10、证明：（1）∵□ABCD ，∴AB∥CD，AB＝CD-----------------------------------1分
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF＝DC，BE＝AB
∴DF∥BE，DF＝BE---------------------------------------------------------------------1分
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF-----------------------------------------------------------------------------------1分
(2)证明：∵AG∥BD，∴∠G＝∠DBC＝90°，∴DBC为直角三角形---1分
又∵F为边CD的中点．∴BF＝DC＝DF------------------------------------------1分
又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形----------------------1分
11．证明：∵在梯形ABCD中，AD//BC，∴∠DAE=∠FAE，∠ADE=∠CFE．……（1分）
又∵AE=EC，∴△ADE≌△CFE．…………………………………………（1分）
∴AD=FC，…………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是平行四边形．……………………………………………（1分）
∵BC=2AD，∴FC=AD=BC．……………………………………………（1分）
∵AC⊥AB，∴AF=BC．…………………………………………………（1分）
∴AF=FC，……………………………………………………………………（1分）
∴四边形AFCD是菱形．……………………………………………………（1分）
12．（1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：．…………………（1分）
证明：∵ AD // BC，DE // AB，∴ 四边形ABED是平行四边形．
∴ AD = BE．………………………………………………………（2分）
同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得 AD = FC．……（1分）
又∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AD = EF．……………（1分）
∴ AD = BE = EF = FC．
∴ ．……………………………………………………（1分）
（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）
证明：∵ DE // AB，∴ ∠B =∠DEC．…………………………………（1分）
∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．
即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分）
又∵ EF = FC，∴ DF = EF．……………………………………（1分）
∵ 四边形AEFD是平行四边形，
∴ 四边形AEFD是菱形．…………………………………………（1分）
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