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几何综合题
1．已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N .
（1）写出图中的全等三角形. 设CP=，AM=，写出与的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°. 如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.
2、已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），
过点P作 PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F.
（1）当点E落在线段CD上时（如图10），
① 求证：PB=PE；
② 在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，
若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果
不能，试说明理由．
D
C
B
A
E
P
。
F
（图1）
D
C
B
A
（备用图）
3、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.
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(1) 求点的坐标.
(2) 请判断△的形状并说明理由.
(3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.
4．已知：如图，梯形中，∥，，，．是直线上一点，联结，过点作交直线于点．联结．
（1）若点是线段上一点（与点、不重合），（如图1所示）
①求证：．
②设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（第3题图1）
（2）直线上是否存在一点，使△是△面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
（第3题备用图）
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5．已知： O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF（如图4）。
（1） 求证：EO=FO；
（2） 若正方形的边长为2， OE=2OA，求BE的长；
E
（3） 当OE=2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1=时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形。
F
B
A
xK b1. C om
O
D
C
（图4）
（备用图）
A
B
C
D
O
6．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EA⊥CF，垂足为H，
AE与CD相交于点G．
（1）求证：AG=CF；
（2）当点G为CD的中点时（如图1），求证：FC=FE；
（3）如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC时（如图2），求DG的长．
A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
图2
图1
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几何综合题答案
1．（1） ⊿MBN≌⊿MPN ………………………………1
∵⊿MBN≌⊿MPN
∴MB=MP,
∴ 新 课 标 第 一 网
∵矩形ABCD
∴AD=CD (矩形的对边相等)
∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) ………………………………1
∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y
∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1
Rt⊿ABM中，
同理 ………………………………1
………………………………1
∴ ………………………………1
（3） ………………………………1
当时，
可证 ………………………………1
∴ AM=CP，AB=DM
∴ ………………………………1
∴ ………………………………1
∴当CM=1时，
2．（1）① 证：过P作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N
∵正方形ABCD，∴ PM=AM，MN=AB ，
从而 MB=PN ………………………………（2分）
∴ △PMB≌△PNE，从而 PB=PE …………（2分）
② 解：PF的长度不会发生变化，
设O为AC中点，联结PO，
∵正方形ABCD， ∴ BO⊥AC，…………（1分）
从而∠PBO=∠EPF，……………………（1分）
∴ △POB≌△PEF， 从而 PF=BO …………（2分）
（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；…………（1分）（1分）
（3）当点E落在线段CD上时，∠PEC是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能EP=EC，…………（1分）
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这时，PF=FC，∴ ，点P与点A重合，与已知不符。……（1分）
当点E落在线段DC的延长线上时，∠PCE是钝角，
从而要使⊿PEC为等腰三角形，只能CP=CE，…………（1分）
设AP=x，则，，
又 ，∴，解得x=1. …………（1分）
综上，AP=1时，⊿PEC为等腰三角形
3.解：（1） 解得： ………………………1′
∴ 点P的坐标为（2，） ………………………1′
（2）当时， ∴点A的坐标为（4，0） ………………………1′
∵ ……………1′
∴
∴是等边三角形 ………………………1′
（3）当0＜≤4时， ………………………1′
………………………1′
当4＜＜8时， ………………………1′
………………………1′
4．（1）①
证明：在上截取，联结.
∴.
又∵∠A＝90°，∠A＋∠AGE＋∠AEG＝180°.
∴∠AGE＝45°.
∴∠BGE＝135°.
∵∥.
∴∠C＋∠D＝180°.
又∵∠C＝45°.
∴∠D＝135°.
∴∠BGE＝∠D. ……………………………………………………………1分
∵，.
∴. …………………………………………………………………1分
∵.
∴∠BEF＝90°.
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又∵∠A＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∠AEB＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∠A＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF. ……………………………………………………………1分
∴△BGE≌△EDF. ……………………………………………………………1分
∴. 新|课 |标| 第 | 一| 网
（1）②
关于的函数解析式为：.………………………………1分
此函数的定义域为：.………………………………………………1分
（2）存在.…………………………………………………………………………1分
Ⅰ当点在线段上时，（负值舍去）. ………………1分
Ⅱ当点在线段延长线上时，（负值舍去）. ………………1分
Ⅲ当点在线段延长线上时，. ………………………………1分
∴的长为、或.
5、（1）证明：∵ABCD是正方形，对角线交于点O，
∴AO=BO，AC⊥BD，-----------------------------------------------------------1分
∴ ∠OAB=∠OBA,∴∠OAF=∠OBE，--------------------------------------1分
∵AC⊥BD，OF⊥OE，∴∠AOF==∠BOE，------------1分
∴△AOF≌△BOE，
∴EO=FO.----------------------------------------------------------------------------1分
（2）解：∵ABCD是正方形，边长为2，∴AO=,∴OE=2OA=
∵OF⊥OE，EO=FO，∴EF=4，--------------------------------------------------1分
∵△AOF≌△BOE，∴AF=BE，--------------------------------------------------1分
设AF=BE=x， 在Rt△EFB中，,即
解得，∵x＞0，∴，即BE=---------------2分
（3）△AOE1是直角三角形。-------------------------------------------------------------1分
证明：取OE中点M，则OM=EM=,-----------------------------------------------1分
∵OE=2OA，∴OA=，∴OA=OM
∵∠EOB=,∵AC⊥BD，∴∠AOE=,∴△OAM是等边三角形，----------1分
∴AM=OM=EM，∴∠MAE=∠MEA,∴∠MAO=∠MOA，
∵∠MAE+∠MEA+∠MAO+∠MOA=，∴2∠MEA+2∠MOA=，
∴∠MEA+∠MOA=，--------------------------------------------------------------------1分
即△AOE1为直角三角形。
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6．（1）证明：∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠CDF=90º，
∵AE⊥CF，∴∠AGD=90º –∠GAD=∠CFD，………………………（1 分）
∴△ADG≌△CDF，…………………………………………………（1 分）
∴AG=CF．……………………………………………………………（1 分）
（2）证明：过点F作FM⊥CE，垂足为M，……………………………………（1 分）
∵∠ECG=∠ADG=90º，∠CGE=∠DGA，CG=DG，∴△ECG≌△ACD，…（1 分）
∴CE=AD=CD．∵FM//CD，∴CM=DF=DG=CD=CE，………（1 分）
∴FC=FE．………………………………………………………………（1 分）
（3）解：联结GF，∵EF=EC,EH⊥CF,GF=CG．……………………………………（1 分）
设DF= DG=，则GF=CG=2–，新 -课- 标- 第-一-网
∵，∴， …………………………（1 分）
∴（负值舍去），∴DF=．…………………………（1 分）
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