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第1课时 变量与函数
学习目标：
1.了解变量和常量的概念，会正确说出某一变化过程中的变量和常量；
2.了解函数的概念，知道函数的三种表示方法；
一．知识准备
1. 已知某汽车以60千米/小时的速度匀速行使，行使t小时的路程S＝ ；
2. 已知长方形的长为10厘米，宽为x厘米，则长方形的面积y＝ 平方厘米；长方形的周长C＝ 厘米；
3.圆的半径为r，则圆的面积S＝ ；
二．知识探究
探究一：
1.已知铅笔每支x元，则购买10支铅笔的总钱数y＝ ；
2.已知弹簧的原长为10cm，在弹性限度内，重量每增加1千克，弹簧的长度增加0.5cm，则挂重x千克的物体后，弹簧的总长度y＝ ；
3.如图，已知长方形的周长为20cm，若长方形的长为xcm，
则长方形的面积y＝ ；
观察上面的变化过程，我们发现，某些量在发生变化，某些量保持不变。
概念：
在某一变化过程中，数值发生改变的量，叫做 ，数值始终保持不变的量，叫做 ；
探究二：
1.在关系式S＝60t中，当t＝1时，S＝ ；当t＝5时，S＝ ；
2.在关系式中，当2时，y＝ ；当x＝10时，y＝ ；
3.在关系式中，当2时，y＝ ；当x＝5时，y＝ ；
从上面，我们可以发现，当一个变量有一个确定的值时，另一个变量有一个唯一确定的值与它对应。
函数的概念：
在某一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量；
在实际问题中，函数主要有以下三种表示方法：
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1.用函数表达式表示，如上面的关系式等，称为解析法，上面的表达式也叫解析式；
2.图像法：用图像表示变量之间的变化关系，如图2；
图2
3.列表法：用表格的形式表示变量之间的变化关系，如图3；
中国人口数统计表
年份
人口数/亿
1984
10.34
1989
11.06
1994
11.76
1999
12.52
图3
函数值：如果当时，，那么b叫做当当自变量的值为a时的函数值；
例1：购买一些铅笔，单价为0.2元/枝，总价y随铅笔枝数x的变化而变化；
（1）写出y关于x的函数解析式；并指出常量和变量；
（2）求当x＝10时的函数值；
三．课堂练习
1. 某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系
式是 。其中的变量是 。常量是 。
2.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式为 。
其中的变量是 ，常量是 。
3.求下列函数关系式在当时的函数值；
（1）； （2） （3）；
四．知识小结
1.正确区分某一变化过程中的常量和变量；
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常量： ；
变量： ；
2.函数的概念：
3.函数的表示方法：
（1） ； （2） ； （3） ；
4.求函数值：
（1）把自变量x的值代入函数解析式；
（2）求出函数值（y的值）
五．自我测试
1.列出下列函数关系式，并指出常量和变量；
（1）三角形的一边长为5cm，它的面积S（）与这边上的高h（cm）的关系式是 ；
其中常量为 ，变量为 ；
（2）如果直角三角形中一个锐角的度数为，那么它的另一个锐角的度数与间的关系式为 ；其中常量为 ，变量为 ；
（3）如果某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，那么购买报纸的总价y（元）与x间的函数关系式为y ；其中常量为 ，变量为 ；
2.求出下列函数关系式中当时的函数值；
（1）； （2）； （3）；
六．应用与拓展
1. 如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．
（1）试写出重叠部分面积y（cm2）与MA长度x（cm）之间的函数关系式．
（2）当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少?
第2课时 自变量的取值范围
学习目标：
1.会确定特殊的函数解析式的自变量取值范围；
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2.会根据实际问题的背景确定简单实际问题的自变量的取值范围；
一．知识准备
1. 某市民用电费标准为每度0.50元，则电费y（元）关于用电度数x的函数关系式为： ，当用电度数x＝50时，应交电费y＝ ；
2. 已知等腰三角形的面积为20，设它的底边长为x（cm），则底边上的高y（cm）关于x的函数关系式为： ，当x＝5cm时，y＝ ；
3.要使式子有意义，则的取值范围为 ；
二．知识探究：
例1：求下列函数中自变量的取值范围；
（1）； （2）； （3）； （4）
解：
方法小结：
（1）函数的解析式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；
（2）函数的解析式为分式时，自变量的取值范围应满足分母不为0；
（3）函数的解析式是二次根式时，自变量的取值范围应满足根号里大于或等于0；
例2：正方形的边长为，求正方形的面积关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
例3：一辆汽车的油箱中现有汽油50，如果不再加油，那么油箱中的剩油量（单位：）随行驶里程（单位：）的增加而减少，平均耗油量为；
（1）写出关于的函数关系式；
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（2）指出自变量的取值范围；
（3）汽车行驶200km时，邮箱中还有多少汽油？
三．课堂练习
1.求下列函数自变量的取值范围
（1）； （2）； （3）
2.已知等腰三角形的底角的度数为x，顶角的读数为y；
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）当x＝600时，求函数y的值？
四．知识小结
1.特殊函数的解析式的自变量取值范围的求法：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
2.实际问题的函数的自变量取值范围
（1）写出解析式
（2）考虑实际问题的意义；
五．自我测试
1.在中，当时， ；当时，
2.求下列函数中自变量的取值范围
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（1）； （2）； （3） （4）
3. 一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少后，得到的新正方形的周长为；
（1）求与的函数关系式；
（2）指出自变量的取值范围；
（3）当时，新正方形的周长是多少？
4. 长方形的周长为cm，
（1）求它的面积（）与它的一边长cm间的函数关系式；
（2）求当一边长为2cm时长方形的面积；
六．应用与拓展
1.汽车从距离A站300千米的B处，以每小时60千米的速度开向A站；
（1）写出汽车离A站的距离S（千米）与开车时间t（小时）间的函数关系式；
（2）求出自变量的取值范围；
（3）汽车开出3小时后离A站还有多少千米？
第3课时 画函数的图像
学习目标：
1.会用列表、描点、连线三步画函数的图像；
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2.经历画函数图像的过程，体验图像上的点与函数解析式之间的关系；
3.会判断一个点（x，y）是否在函数的图像上；
一．知识准备
1.在函数中，当时， ；当时， ；
2.函数的自变量的取值范围为 ；
3.函数的自变量的取值范围为 ；
二．知识探究：
1.用描点法画函数的图像
函数图象：一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．
例1：画出函数的图像；
解：1．建立直角坐标系；
2．列表：
3. 描点；
4. 连线；
用描点法画函数的图像一般包括以下几个步骤：（一般描5个点）
建立平面直角坐标系后，1. ； 2. ； 3. ；
例2：分别在下列平面直角坐标系中画出下列函数的图像
（1） （2）（）
－2
－1
0
1
2
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1
2
3
4
6
从上面我们可以看出：图像上的每一个点的坐标满足函数的解析式；反过来，解析式的每一对（x，y）的值，都在函数的图像上。函数的解析式和函数的图像一一对应；
例3：判断点，，是否都在函数（）的图像上；
解：当时，，所以点在函数的图像上；
判断点在函数的图像上的方法：
把横坐标的值代入函数的解析式，求出函数值，看是否和纵坐标的值相等；若相等，则说明点在函数的图像上，否则点不在函数的图像上；
三．课堂练习
1..在所给的直角坐标系中画出函数的图像；（先填写下表，再描点、连线）.
2. 判断点，，，是否都在函数的图像上；
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3.已知点在函数的图像上，求的值；
四．知识小结
1.画函数图像的方法：
建立平面直角坐标系；
（1） ；（2） ；（3） ；
2.判断点是否在函数的图像上的方法；
（1）把自变量x的值代入函数关系式；
（2）与y的值进行对比；
五．自我测试
1.已知正方形的边长为
（1）写出它的面积关于的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）用描点法画出这个函数的图像；
2.（1）画出函数的图像；
（2）判断点，，是否在函数的图像上；
六．应用与拓展
1.小明准备用12元钱去买铅笔，已知铅笔的单价为元/枝，
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（1）写出小明剩余的钱（元）与购买的铅笔（枝）之间的函数关系式；
（2）求出自变量的取值范围；
（3）当小明买了10枝铅笔时，还剩多少钱？
（4）画出这个函数的图像；
第4课时 函数的图像（1）
学习目标
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1.能借助函数的图像说明实际问题相关的量；
2.能根据实际问题用函数的图像进行描述；
一．知识准备：
1.已知点P（－2，b）在函数的图像上，则b＝ ；
2.已知点P（－2，3）在函数的图像上，则k＝ ；
3. 下列是自动测温仪记录的图像，它反映了北京的春季某天气温如何随时间的变化而变化；
（1）什么时候气温最低？最低温度为多少？
（2）什么时候气温最高？最高温度为多少？
（3）什么时间段气温在上升？什么时间段气温在下降？
二．知识探究
例1：下面的图象反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x表示时间，y表示小明离他家的距离．
（1）菜地离小明家多远？小明从家到菜地用了多少时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
例2：王
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教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：
（1） 小强让爷爷先上多少米？
（2）山顶高多少米？谁先爬上山顶？
（3）什么时候小强追上爷爷？追上时小强爬了多少米？
例3：小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1 000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ）
O
10 20 30 40 50
1500
1000
500
C．
x/分
y/米
O
10 20 30 40 50
D．
y/米
1500
1000
500
y/米
y/米
1500
1000
500
1500
1000
500
x/分
x/分
10 20 30 40 50
O
10 20 30 40 50
O
B．
A．
三．课堂练习
1. 一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（ ）.
2.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？
（1）小明什么时候开始看报，看了多少时间？
（2）小明看完报后，往前走了多少米？
平均速度是多少？
（3）小明回家的平均速度是多少？
四．自我测试
1
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．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（ ）．
A．李华先到达终点 B．弟弟的速度是8米／秒
C．弟弟先跑了10米 D．弟弟的速度是10米／秒
2. 小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里.下面图形中表示小红爷爷离家的时间与外出距离之间的关系是（ ）
3. 一天，亮亮感冒发烧了，早晨他烧得厉害，吃过药后感冒好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．图中能基本反映出亮亮这一天（0～24时）体温的变化情况的是（ ）
4、某产品的生产流水线每小时可生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后安排工人装箱，若每小时装产品150件，未装箱的产品数量为y，生产时间为t，那么y与t的大致图象只能是图中的（ ）
5、如图，向高为H的圆柱形空水杯里注水，表示注水量y与水深x的关系的图象是（ ）
6、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到了下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
7.周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里.他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题：
（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？
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（2）小李何时第一次休息？
（3）10时到13时，小骑了多少千米？
（4）返回时，小李的平均车速是多少？
第5课时 函数的图像（2）
学习目标：
1.会根据实际问题画出函数的图像；
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2.能根据函数的图像描述实际问题的数量关系；
一．知识准备
1.函数的三种表示方法为： ， ， ；
2.函数的自变量的取值范围为 ；
3.已知函数的解析式为，当时， ，当时， ；
4. 下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又到了文具店去买笔，然后散步回家；其中表示时间，表示张强离家的距离；
（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多长时间？
（2）体育场离文具店多远？
（3）张强在文具店停留了多长时间？
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
二．知识探究
例1：已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为y cm，一腰长为x cm.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）画出这个函数的图象.
例2：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5个小时的变化规律：
t（时）
0
1
2
3
4
5
y（米）
10
10.05
10.10
10.15
10.20
10.25
（1）由记录表推出这5个小时中水位高度（单位：米）随时间（单位：时）变化的函数关系式，并画出函数图像；
（2）据估计，这种上涨还会持续2小时，预测再过2小时，水位高度将达到多少米？
三．课堂练习
1.王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式y=击球，球正好进
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洞．其中，y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离．高尔夫球飞行的路线如图；
（1）完成下列表格
（1） 从从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度
是___ m，球的起点与洞之间的距离是___ m．
四．课堂小结
解决问题的一般步骤为：
1.根据实际问题的背景或图表的规律列出函数关系式；
2.给出自变量的取值范围；
3.根据取值范围画出函数的图像
五．自我测试
1.运用列表法和解析法表示边形的内角和（单位：度）是边数的函数；
3
4
5
6
…，…
…，…
S
于是，边形的内角和（单位：度）是边数的函数关系式为： ；
2.用解析式法和图象法表示等边三角形的周长和边长的函数：
解：等边三角形的周长和边长的函数关系式为 （）；
该函数的图像为：
3.正方形的边长为，若边长增加，则面积增加，求随变化的函数解析式，指出自变量的取值范围，并用表格的形式表示当等于1，2，3，4时的值；
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六．应用与拓展
1. 下列各曲线哪些表示是的函数？
第6课时 正比例函数
学习目标
1.理解正比例函数的概念；
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2.会根据一个点确定正比例函数的解析式；
3.会画正比例函数的图像，并能结合图像描述正比例函数的性质；
一．知识准备
1. 一辆汽车行驶的速度为60千米/时，则它驶过的路程（单位：千米）和行驶的时间（单位：小时）的函数关系式为 ；
2.圆的周长 l 随半径r的大小变化而变化的函数关系式为 ；
3.每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化的函数关系式为 ；
4. 冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分钟）的变化而变化的函数关系式为 ；
二．知识探究
探究1：
观察上面的函数关系式，我们发现：因变量等于一个常量和自变量的乘积的形式；
正比例函数的概念：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：自变量的次数为1次；
例如：1.下列哪些函数关系式是正比例函数关系式： ；
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）
2.已知一个正比例函数的比例系数是－3，则正比例函数的解析式为 ；
3.已知是正比例函数，则 ；
探究2：画出下列正比例函数的图象
（1） （2）；
解：1.列表：
…
－2
－1
0
1
2
…
…
－2
－1
0
1
2
…
正比例函数的图像是经过 的一条 ；
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探究3：正比例函数的性质：
（1）正比例函数的图象一定经过哪个点？
（2）正比例函数的图象是一个什么几何图形？从这里，你可以得到画函数图象的简便方法吗？
（3）当比例系数k>0时，图象经过哪些象限？当x增大时，y的值如何变化？ k0时，图像经过 象限，y随x的增大而 ；
（2）当k
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