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专题六 压轴题探究
1.(2017常德中考)如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2，2)，在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．
(1)求抛物线的表达式及顶点N的坐标；
(2)求证：四边形PMDA是平行四边形；
(3)求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为时的点P的坐标．
解：(1)∵抛物线的对称轴是y轴，
∴可设抛物线表达式为 y＝ax2＋c.
∵点(2，2)，在抛物线上，
∴解得
∴抛物线表达式为y＝x2＋1，
∴N点坐标为(0，1)；
(2)设P，则C，
PA＝t2＋1.
∵M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点，且N(0，1)，
∴M(0，2)．
∵OC＝t2＋1，ON＝1，
∴CN＝t2＋1－1＝t2，∴OD＝t2－1，
∴D，
∴DM＝2－＝t2＋1＝PA.
又∵PA∥DM，
∴四边形PMDA为平行四边形；
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(3)同(2)设P，
则C，PA＝t2＋1，PC＝|t|.
∵M(0，2)，
∴CM＝t2＋1－2＝t2－1.在Rt△PMC中，由勾股定理可得PM＝ ＝＝＝t2＋1＝PA.且四边形PMDA为平行四边形，∴四边形PMDA为菱形，
∴∠APM＝∠ADM＝2∠PDM.
∵PE⊥y轴，抛物线对称轴为y轴，
∴DP＝DE，且∠PDE＝2∠PDM，
∴∠PDE＝∠APM，又∵＝，
∴△DPE∽△PAM.
∵OA＝|t|，OM＝2，
∴AM＝，又∵PE＝2PC＝2|t|，
当相似比为时，则＝，
即＝，解得t＝2或t＝－2，
∴P点坐标为(2，4)或(－2，4)．
2．(2017永州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过A(－1，0)，B(1，1)两点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y＝k2x＋b2(k2，b2为常数，且k2≠0)，若l1⊥l2，则k1·k2＝－1.
解决问题：
①若直线y＝3x－1与直线y＝mx＋2互相垂直，求m的值；
②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值．
解：(1)根据题意，得
解得
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∴y＝－x2＋x＋1；
(2) ①由题意，得3m＝－1，∴m＝－；
②设PA的表达式为y＝kx＋c，过A(－1，0)，B(1，1)两点的直线表达式为y＝x＋.∵过点P的直角边与AB垂直，∴k＝－2，
∴y＝－2x＋c.
若∠PAB＝90°，把 A(－1，0)代入得0＝－2×(－1)＋c，解得c＝－2，
∴y＝－2x－2，点P是直线PA与抛物线的交点，联立方程组
解得
∴P(6，－14)；
若∠PBA＝90°，把B(1，1)代入y＝－2x＋c，得1＝－2×1＋c，解得c＝3，
∴y＝－2x＋3，点P是直线PB与抛物线的交点，联立方程组解得
∴P(4，－5)．
综上所述，存在点P(6，－14)或(4，－5)，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形；
(3)设M，过M作MQ∥y轴，交AB于点Q，则Q.
∴S△ABM＝×[1－(－1)]＝－n2＋ .
当n＝0时，最大面积为，AB＝＝，设点M到直线AB距离最大为h，则××h＝，
∴h＝.
即点M到直线AB的距离的最大值是.
3．(六盘水中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，顶点为D.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
(3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
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解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，
∴
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3；
(2) ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线顶点D的坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1；
(3)存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形，设点P的坐标为(1，y)．
当PA＝PD时，
＝，
解得y＝－，即点P的坐标为；
当DA＝DP时，
＝，
解得y＝－4±2，
即点P的坐标为(1，－4－2)或(1，－4＋2)；
当AD＝AP时，
＝，
解得y＝±4，
即点P的坐标是(1，4)或(1，－4)，
当点P为(1，－4)时与点D重合，故不符合题意，
综上所述，以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或(1，－4－2)或(1，－4＋2)或(1，4)．
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