2018年宜宾中考总复习精练第2编专题4：三角形、四边形综合性.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题四　三角形、四边形综合问题探究 ‎1．(2017宜宾中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．‎ ‎2．(2016宜宾中考改编)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.‎ ‎(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；‎ ‎(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．‎ 解：(1)四边形EBGD是菱形．‎ 理由：∵EG垂直平分BD，‎ ‎∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，‎ ‎∵∠EBD＝∠DBC，‎ ‎∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，‎ ‎∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，‎ ‎∴BE＝ED＝DG＝GB，‎ ‎∴四边形EBGD是菱形；‎ ‎(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．‎ 在Rt△EBM中，‎ ‎∵∠EMB＝90°，‎ ‎∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，‎ ‎∴EM＝BE＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，‎ ‎∴EM∥DN，EM＝DN＝，‎ MN＝DE＝2.‎ 在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，‎ ‎∠DCN＝45°，‎ ‎∴∠NDC＝∠NCD＝45°，‎ ‎∴DN＝NC＝，∴MC＝3，‎ 在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，‎ EM＝，MC＝3，‎ ‎∴EC＝＝＝10.‎ ‎∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，‎ ‎∴HG＋HC的最小值为10.‎ ‎3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.‎ ‎(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；‎ ‎(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．‎ 解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴DG∥BC，DG＝BC.‎ ‎∵E，F分别是OB，OC的中点，‎ ‎∴EF∥BC，EF＝BC，‎ ‎∴DG＝EF，DG∥EF，‎ ‎∴四边形DEFG是平行四边形；‎ ‎(2)∵∠OBC和∠OCB互余，‎ ‎∴∠OBC＋∠OCB＝90°，‎ ‎∴∠BOC＝90°.‎ ‎∵M为EF的中点，OM＝3，‎ ‎∴EF＝2OM＝6.‎ 由(1)有四边形DEFG是平行四边形，‎ ‎∴DG＝EF＝6.‎ ‎4．(2016宜宾中考模拟)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B‎1C，连结C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连结C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；‎ ‎(3)如图③，在图②的基础上，连结B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________．‎ 解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：‎ 过点C1，作C1E∥B‎1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.‎ 由旋转性质可知，BC1＝BC＝B‎1C，∠C1BC＝∠B1CB，‎ ‎∴∠C1BC＝∠C1EB，‎ ‎∴C1B＝C1E.‎ ‎∵BC1＝BC＝B‎1C，‎ ‎∴C1E＝B‎1C.‎ 又∵C1E∥B‎1C，‎ ‎∴四边形C1ECB是平行四边形，‎ ‎∴C1B1∥BC.‎ ‎5．(2017沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连结BF.‎ ‎(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；‎ ‎(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1，‎ ‎①求点F到AD的距离；‎ ‎②求BF的长；‎ ‎(3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长．‎ 解：(1)BF＝4；‎ ‎(2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H.‎ ‎∵四边形CEFG是正方形，‎ ‎∴EC＝EF，∠FEC＝90°，‎ ‎∴∠DEC＋∠FEH＝90°.‎ 又∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠DEC＋∠ECD＝90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ECD＝∠FEH.‎ 又∵∠EDC＝∠EHF＝90°，‎ ‎∴△ECD≌△FEH，‎ ‎∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1，‎ ‎∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，‎ ‎∴FH＝3，‎ 即点F到AD的距离为3；‎ ‎②延长FH交BC的延长线于点K，‎ ‎∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，‎ ‎∴四边形CDHK为矩形，‎ ‎∴HK＝CD＝4，‎ ‎∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.‎ ‎∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，‎ ‎∴AE＝DH＝CK＝1，‎ ‎∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.‎ 在Rt△BFK中，BF＝＝＝；‎ ‎(3)AE＝2＋或AE＝1.‎ ‎6．(2017福建中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．‎ ‎(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长；‎ ‎(2)若AP＝，求CF的长．‎ 解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，‎ ‎∴DC＝AB＝6，AC＝＝10.‎ 要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：‎ ‎①当CP＝CD时，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4，‎ ‎②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD.‎ ‎∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，‎ ‎∴∠PAD＝∠PDA，‎ ‎∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝＝5；‎ ‎③当DP＝DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ.‎ ‎∵S△ADC＝AD·DC＝AC·DQ，‎ ‎∴DQ＝＝，‎ ‎∴CQ＝＝，∴PC＝2CQ＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AP＝AC－PC＝.‎ 综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；‎ ‎(2)连结PF，DE，记PF与DE的交点为O，连结OC.‎ ‎∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，‎ ‎∴∠ADC＝∠PDF＝90°，‎ 即∠ ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，‎ ‎∴∠ADP＝∠CDF.‎ ‎∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝ED.‎ 在矩形PEFD中，PF＝DE，‎ ‎∴OC＝PF.∵OP＝OF＝PF，‎ ‎∴OC＝OP＝OF，‎ ‎∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC.‎ 又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°，‎ ‎∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，‎ 即∠PCD＋∠FCD＝90°.‎ 在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°，‎ ‎∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF，‎ ‎∴＝＝.∵AP＝，‎ ‎∴CF＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费